山东财经大学学士学位论文
一、引 言
水是哺育人类的乳汁。没有水的哺育，就没有生命的繁衍；没有水的世界，将是死亡的世界。地球上因为有了水，才变得生机勃勃。然而，由于种种原因，一方面人类对水的需求与日俱增，另一方面人为的浪费，还有就是人们对水资源的污染，使水资源不断枯竭。水资源危机已成为21世纪人类面临的最为严峻的现实问题之一。
我国是一个干旱缺水严重的国家。淡水资源总量为28000亿立方米，占全球水资源的6％，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，居世界第四位，但人均只有2200立方米，仅为世界平均水平的1／4、美国的1／5，在世界上名列121位，是全球13亿人均水资源最贫乏的国家之一。扣除难以利用的洪水泾流和散布在偏远地区的地下水资源后，我国现实可利用的淡水资源量则更少，仅为11000亿立方米左右，人均可利用水资源量约为900立方米。
怎样合理利用水资源，成为人们日益关注的话题。
缓解缺水状况无外两种方式，一是开源，二是节流。开源是一个巨大而又复杂的整体工程，节流则需从小处着眼，汇涓流而成大海。土地喷灌是一个长期大量的用水项目，目前有移动水车浇灌和固定喷水龙头旋转喷浇两种方式。移动水车主要用于道路两侧狭长绿地的浇灌，固定喷水龙头主要用于公园，小区，广场等观赏性绿地。观赏性绿地的草根很短，根系寻水性能差，不能蓄水，故喷水龙头的喷浇区域要保证对绿地的全面覆盖。据观察，绿地喷水龙头分布方式和喷射半径的设定具有较大的随意性。本文考虑如何排布喷头以及如何确定喷射半径从而在保证全面覆盖率的前提下使水分喷洒的更均匀。
二、基本假设
1) 在整个喷灌过程中，不考虑风的影响； 2) 所喷灌的土地平坦，没有地势的起伏；
3) 所喷灌的土地足够大，不考虑边界上的水量分布；
4) 只考虑固定旋转式喷灌系统，每个喷头喷出的水洒落在以喷头为圆心的圆域；
5) 在适当的工作压力下，每个喷头喷出的水量随着与喷头支架底部的距离的均匀增加而均匀减少，即水量是距离的一次减函数（如下图）；
图 1 单个喷头土壤中的水分分布
6) 水滴到地面后，不考虑落地点周围泥土对它的吸收，只作为落地点的灌溉量(即水深)考虑； 7) 所有喷头规格相同，即每个喷头在土壤中的水分分布相同； 8) 所有喷头不能跨喷头喷洒。
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三、符号说明
s 间距，即相邻两个喷头间的水平距离； r 单个喷头的射程；
d 地面上一点(x，y)到某个喷头支架底部的水平距离；
?(x，y) 点(x，y)处的喷灌强度，喷灌强度是指单位时间内喷洒在地面上该点处的水的深度；
?sum 一块土地内的总喷灌量，即单位时间内喷洒到这块地面的所有水量之和；
? 平均灌溉强度，即一次喷洒中相同时段内各点喷灌强度的平均值，其值等于总喷灌量除以地块面
积；
?? 喷灌强度的平均偏差，即地面上各点喷灌强度与平均灌溉强度偏差的平均值；
k(s) 喷灌均匀系数，其中0?k(s)?1，反映了喷洒水量在灌溉面积上分布的均匀程度，其计算公式
为：
k(s)?1-??? （1）
r(s) 喷灌重叠系数，表示单位土地面积内平均需要的喷头个数，s越大，r(s)越小。r(s)的值等于所
有喷头在一个多边形中的所有喷洒面积之和除以单个喷头所能达到的喷灌面积，再除以多边形的面积。
四、问题分析
我们的目的是对定喷式系统（即在固定位置做定点旋转喷洒的灌溉系统），寻找一种较为合理的喷头分布方案，使用较少数目的喷头，使水量分布尽量均匀以促进植物生长，同时也可以节约水的消耗。（如果喷洒不均匀的话，就会导致有些地方喷洒的水量超过植物生长需要而造成浪费，因而均匀喷洒有利于节约水资源。）
要使水量分布均匀，除了喷头的工作压力、风向、风速、地势等因素外（这里我们忽略这些因素的影响），喷头的规律排布是很重要的（便于分析、管理）。为了节省投资，要求尽可能减少喷头的个数，也就是说要尽量减少重叠的区域（几个喷头重复喷洒的地方），因为减少重叠区域可以减少喷头安装的数量，从而节约成本。如果将喷头看作是一些点，那么规律排布就意味着用线段将其连接得到的几何图形是一些有规律的图形，这些图形紧密排列并覆盖着整块土地。
这里我们选取基本图形为三角形，则各种排布如下图：
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图 2 各种三角形排布
通过观察我们发现，图2（c）和（d）的顶点分布是一样的，都为等边三角形；图2（b）中顶点分布为矩形；图2（e)中顶点分布为正方形（图2（f））。为了便于分析，我们以等腰三角形作为讨论对象。那么等腰三角形有哪些限制条件呢？分析下图3:
图 3 等腰三角形的分析
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在等腰三角形ABC中，AB?AC，AO?BO?CO?r，即O为三角形ABC外心，由于不能跨喷头喷灌，则要求：
1?sin2????BC?2r?sin2??r?2 解得：??2??2?
即：??63?AB?2r?cos??r?cos??1?2?也就是说，等腰三角形中顶角的取值范围为：(—等边三角形来进行分析。
?2?63,)。不失一般性，我们选取特殊的等腰三角形—
五、模型的建立与求解
以下我们来计算喷头按正三角形排布的?sum，?，??和k(s)。
根据假设，单个喷头的水量分布在越接近喷头的地方水量越大，即越接近喷头喷灌强度越高并呈线
性变化趋势，因而单个喷头下的喷灌强度?可以认为是距离d的线性减函数，可以记为：
?d??(x,y)??0??1-r??,??0?d?r （2）
这里的?0为喷头处的喷灌强度，也就是单个喷头所能达到的对某个点的最大喷灌量。由于射程是固定的，不失一般性，我们可将射程r看做1个单位，又因为?0只是作为系数，不影响实际计算结果，为简单起见，我们也将其视为1个单位，于是喷灌强度的计算公式（2）可以简化为：
?(x,y)?1-d,0?d?1 （3）
显然，要使一块土地上的每一点都能被喷灌到的话，正三角形内部必定有重叠喷洒的区域，因而我们建模的重点应该放在对重叠区域的研究上。正三角形各种情形如下图4。
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