山东财经大学学士学位论文
(g)
23?s?1 35
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(h) s?1
图 4 喷头距离s与喷灌射程的关系（其中阴影部分为喷灌次数最多的区域）
为使正三角形中重叠区域不至于过多，显然应该要求间距s?1。在图4（h）中，三角形顶点为摆放喷头的地点，由于s?1时，地块上所有的点都出现重复喷灌，这显然不符合我们减少喷头个数的本意，不符合实际需求。另一方面，如图4（a），（b），（c)所示，为了植物的生长需要又不能出现灌溉不到的地方，所以又应要求s?3，于是s的取值范围应满足1?s?3。通过比较图4的八个图形，可
知图4（e），（g）是我们研究的重点。
（一）情形一：3?s?23 3由于等边三角形具有对称性，我们可以将图4中的（e）进行划分，如下图：
图 5
3?s?6
23 3山东财经大学学士学位论文
当喷头位于正三角形的三个顶点上时，由图5可以直接求出喷头按三角形排列的重叠系数
r(s)?23。由于图5具有完全对称性，因而我们只需研究它的阴影部分直角三角形OAB的平均灌溉23s强度，即可得到整个三角形的平均灌溉强度，为此我们建立如图6所示的直角坐标系：
图 6
3?s?23时平均灌溉强度取样分析图 3上图中的直角三角形OAB被两段圆弧分割成了D1，D2，D3三个小区域，其中区域D1只受到喷头O的喷洒，则由公式（3）可知，在该区域上的点(x，y)处，其喷灌强度为：
?1(x，y)?1-d?1-x2?y2
对于区域D2上的点，其同时受到喷头O和O2的喷洒，所以其上每一点的喷灌强度为喷头O作用的喷灌强度1-加上喷头O2作用的喷灌强度1-(x-s)2?y2，即D2上每一点的喷灌强度为： x2?y2，
?2(x，y)?2-x2?y2-(x-s)2?y2
区域D3上的点同时受到喷头O，O1和O2的喷洒，其上的喷灌强度等于这三个喷头各自作用产生的喷灌强度之和，即：
?3(x，y)?3-x2?y2-(x-s)2?y2-(x-)2?(y?
7
s23s2)2
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喷灌强度反映了每个点处获得水量的大小，因而将?1(x，y)，?2(x，y)，?3(x，y)分别在相应区域作二重积分并再相加，就可以得到在直角三角形OAB上的总水量：
?sum?????i(x,y)d?i
i?1Di3由于被积函数?i(x，y)和积分区域Di中都含有参数s，所以直接计算上述积分很困难，但是仔细观察图5后可以发现，图形具有对称性，在一个正三角形区域上的喷灌量（指三个喷头喷在这个正三角形上的总水量，即图5中圆心角为60°的三个相同扇形区域上喷出水量的总和）恰好等于一个喷头在半个圆域上喷出的水量，而所研究的直角三角形OAB上的总水量就可以通过下面的办法来计算：
11?22?sum??1(x,y)dxdy?(1?x?y)dxdy? （4）
????12x2?y2?112x2?y2?136用总喷灌水量?sum除以直角三角形OAB的面积，可得直角三角形OAB上的平均灌溉水量，即平均灌溉强度为：
242?????2 （5）
2sum3s3s3现在来求直角三角形OAB上的喷灌强度的平均偏差??，即地面上每点处的喷灌强度偏离?的平均值。由于地面上每点的喷灌强度与平均值?的偏离值为
?(x,y)-?，加上绝对值是为了统一正偏离
和负偏离，因而，三角形OAB上所有点偏离值之和为二重积分
??sum?????i(x,y)-?d?i，
i?1Di3再除以直角三角形OAB的面积就可得平均偏离强度：
243????(x,y)-?d?i （6）
2???i3si?1Di把（5）和（6）代入（1）中就可得喷灌均匀系数：
8
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k(s)?1?3????1?36?(x,y)-?d? （7） ????iii?1Di3将（7）中二重积分
????(x,y)-?d?ii?1Dix30i展开得：
?????s?10dx?1?x2?y2?dx?dx?dx?0x31?(x?s)21?(x?s)22?dy?23s32?dy?23s32?dy?23s32?dy?23s33s?12?3s24s?13s?12?3s24s?1s23s?12?3s24s23s?12?3s241?x2?y2?2?x2?y2?(x?s)2?y2?
3ss?1?(x?)22202?x2?y2?(x?s)2?y2?3?x2?y2?(x?s)2?y2?dx?x33ss?1?(x?)222s23s22?dy(x?)?(y?)?2223s3接下来的问题就是如何确定s的值使得在喷头不是太多的情况下均匀系数k(s)尽量达到最大。虽然得到了均匀系数的表达式（7），但（7）是包含有未知参数s的非常复杂的二重积分，很难直接得到显示表达式，也很难利用微积分中最大值和极值的方法来求解，这时我们利用数学软件MATLAB来进行数值计算。我们定步长为0.02，首先可以得到下表（源代码见附录1，2）：
s 1.16 1.18 1.2 1.22 1.24 1.26 1.28 1.3 k(s) 0.9518 0.953 0.9543 0.9552 0.9555 0.9545 0.952 0.9474 s 1.32 1.34 1.36 1.38 1.4 1.42 1.44 1.46 表 1
k(s) 0.9403 0.9301 0.9169 0.9026 0.8875 0.8716 0.855 0.8379 s 1.48 1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6 1.62 k(s) 0.8201 0.8019 0.7833 0.7644 0.7451 0.7257 0.706 0.6862 s 1.64 1.66 1.68 1.7 1.72 1.74 k(s) 0.6663 0.6463 0.6263 0.6063 0.5864 0.5665 3?s?23情况下的离散均匀系数 3然后，用数学软件画出的k(s)在s?[23，3]之间的变化曲线如图7所示（源代码见附录3）： 39