山东财经大学学士学位论文
10.950.90.85均匀系数 k(s)0.80.750.70.650.60.551.11.21.31.4间距 s1.51.61.71.8
图 7
3?s?23情况下均匀系数变化图 3 从表1及图7可以看出，当间距s?1.24时k(s)有最大值95.55%。
（二）情形二：
23?s?1 3由于等边三角形具有对称性，我们可以将图4中的（g）进行划分，如下图：
图 8
23?s?1 310
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当喷头位于O、O1~O56个顶点上时，由图8易知三角形OO1O2的重叠系数也为r(s)?23。同23s理，我们只需研究它的阴影部分直角三角形OAB的平均灌溉强度，即可得到整个三角形的平均灌溉强度，为此我们建立如图9所示的直角坐标系：
图 9
23?s?1时平均灌溉强度取样分析图 3上图中的直角三角形OAB被三段圆弧分割成了D其中D1，D2，D3，D1，D2，D34四个小区域，三个区域的喷灌强度与情形一相同，区域D4上的点同时受到喷头O，O1，O2和O3的喷洒，其上的喷灌强度等于这四个喷头各自作用产生的喷灌强度之和，即：
?4(x，y)?4-x2?y2-(x-s)2?y2-s23s2s23s2
(x-)?(y?)-(x-)?(y?)2222喷灌强度反映了每个点处获得水量的大小，因而将?1(x，y)，?2(x，y)，?3(x，y)和?4(x，y)分别在相应区域作二重积分并再相加，就可以得到在直角三角形OAB上的总水量：
?sum?????i(x,y)d?i
i?1Di4易知，?sum?2?、??，从而可得平均偏离强度： 363s23? 11
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244????(x,y)-?d?i （8）
2???i3si?1Di把（5）和（8）代入（1）中就可得喷灌均匀系数：
k(s)?1?4????1?36?(x,y)-?d? （9） ????iii?1Di4将（9）中二重积分
????(x,y)-?d?展开得：
iii?1Di?????s?10dx?x302?1?x?y?2dy?3s3223s?12?3s24s?13s?12?3s24s?1s?4?3s223s?12?3s24s?4?3s23s?12?3s242dx?dx?dx?0x31?(x?s)21?(x?s)21?x2?y2?222?dy?23s3222?2?x?y?(x?s)?y?2dy?3s32?2?x?y?(x?s)?y?2dy?3s322223ss?1?(x?)2220dx?x33ss?1?(x?)2223?x2?y2?(x?s)2?y2?s23s22?dy?(x?)?(y?)?2223s34?x2?y2?(x?s)2?y2?
?s2s?4?3s22dx?s3s1?(x?)2?220s23s2(x?)?(y?)?22s23s22?(x?)?(y?)?2223s3dy??
s2s?4?3s22dx?s3s1?(x?)2?22x33?x2?y2?(x?s)2?y2?s23s22?dy(x?)?(y?)?2223s312
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利用数学软件MATLAB来进行数值计算。我们定步长为0.01，可以得到下表（源代码见附录1，4）：
s 1 1.01 1.02 1.03 k(s) 0.9654 0.9639 0.9624 0.9611 s 1.04 1.05 1.06 1.07 表 2
k(s) 0.9598 0.9587 0.9576 0.9566 s 1.08 1.09 1.1 1.11 k(s) 0.9556 0.9545 0.9531 0.9521 s 1.12 1.13 1.14 1.15 k(s) 0.9514 0.9511 0.9512 0.9514 23?s?1情况下的离散均匀系数 323)之间的变化曲线如图10所示（源代码见附录5）： 3然后，用数学软件画出的k(s)在s?[1,
0.9680.9660.9640.962均匀系数 k(s)0.960.9580.9560.9540.9520.9511.05间距 s1.11.15
图 10
23?s?1情况下均匀系数变化图 3结合表2和图10可以看出，当间距s越接近1时，喷灌均匀系数k(s)越大。
（三）分析比较
我们将情形一与情形二综合起来，可以得到k(s)在s?[1,代码见附录6）。
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3]之间的变化曲线如下图11所示（源
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10.950.90.85均匀系数 k(s)0.80.750.70.650.60.5511.11.21.31.4间距 s1.51.61.71.8
图 11
3?s?1情况下均匀系数变化图
从图11中可以看出，当s取1时，k(s)有最大值96.54%，当s取1.24时，k(s)有极大值95.55%。为了能减少喷头的个数（也就是增大s），我们取间距s?1.24，即喷头间距为其射程的1.24倍，此时重叠系数r(s)?0.751。
六、模型的优点与改进
喷灌问题实质上是一个多目标规划问题。比如，它可以描述为在满足作物生长所需要水分的条件下如何排布喷头才能达到重叠区域少、喷灌均匀系数高且节约用水的目的。本文没有沿着规划问题的思路去建模，而是把喷头的排布问题归结为在一定条件下求三角形的最佳边长问题，为了能规律排布，我们首先将范围确定在等腰三角形之内，然后选择其中的等边三角形作为研究对象。在所得到的结论中，喷灌均匀系数高达90%以上，是一个令人鼓舞的结果。对于农业和园林技术工作者具有较高的参考价值，因为它远远大于水利部规定的节水喷灌技术标准(水利部农村水利司有关文件规定在设计风速下喷灌均匀系数不低于75%即可、国家《喷灌工程技术规范》要求，喷灌均匀系数一般不低于75%)。
不过，我们考虑的是一种较理想的情况，而对于实际问题来说，喷头究竟应该如何排布还需要考虑风向、风速、蒸发、地势、边角以及水在土壤中的渗透等因素。这些因素及其变化都会影响和制约着喷灌均匀系数的大小，从而影响喷头间距的大小。因而宜在夜间风力小时进行喷灌；同时，对于周边喷灌，安装半圆形或扇形喷头，可以进一步提高水资源的利用效率，达到节约用水的目的。
我们的模型是以等边三角形为对象进行讨论的，其实，可以在等腰三角形中将顶角设为变量（范围为(?2?63,，进而分析哪种等腰三角形效果最好，同理，也可以将直角三角形中某一锐角设为变量，)）
进而分析哪种直角三角形效果最好，更一般的，可以设一般三角形的两个角为变量，从而得出最一般的结论。在这些方面，我们将继续努力，展开讨论和研究。
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