解：法一（函数思想）令f?x??x2?ax?a?1 x??0,1?，即求f?x?在?0,1?上的最小值大于0即可。因此考虑二次函数f?x?在?0,1?上的单调性，由对称轴x?所决定，因此由分类讨论思想分为
a2?0a2的位置
、0?a2?1、
a2?1三种情况。
法二：（分离常数）x2?ax?a?1?0，当x?1时，不等式对任意实数a都成立；当x?1时，即a?即可。
法三：（数形结合）x2?ax?a?1?0即x2?ax?a?1。在直角坐标系中作出f?x??x2与g?x??ax?a?1?a(x?1)?1的图像（图2-2），恒有f?x??g?x?即可 1210x?1x?12需求f?x??x??0,1?恒成立，
x?1x?12在x??0,1?上的最大值，使a?ymax864f?x? = x22g?x? = a??x 1? 115105xB = 0.00B2ACxA = 1.00510154 图2-2
法一属于常规解法，转化为学生熟悉的一元二次函数问题。但由于需要使用分类讨论思想，运算上较为复杂；法二巧妙的使用了分离常数的方法，但在确定
f?x??x?1x?12在x??0,1?上的单调性对于高一学生并不容易，往往需要单调性定义证
明；法三属于数形结合能够避免复杂的运算，巧妙的利用图形的直观性，获得答案，是最佳的解题方案。
例2、已知tan???3，求sin?,cos?的值[23]。
sin????3?tan??cos?解：法一（同角三角函数的基本关系）? ?tan???3?0，???sin2??cos2??1?18
是第二象限或第四象限的角。⑴ 当?为第二象限角时，sin??⑵ 当?为第四象限角时，sin???32232，cos???12；
，cos??sin?114212；
sin?sin??cos?222法二：（切化弦）
cos?12sin????tan?tan??122?34；
cos??2?cos?sin??cos?222?1tan??12?，?第二象限或第四象限的角做讨论。
法三：（三角函数定义）⑴ 当?为第二象限角时，tan???3?32123?1?yx.令
y?3,x??1则r?2.所以sin??，cos???；⑵ 当?为第四象限角时，
3212tan???3??31?yx令y??3,x?1则r?2.所以sin???，cos??
法四：（三角函数线）如图2-3所示因为AT??3?0OA?1,?OT?2又
?OP1?OP2?1
yP1NMOAxP2 图2-3
⑴ 当?为第二象限角时，MP1?sin??323212，OM1?cos???12；⑵ 当?为第四象限
角时，NP2?sin???，ON?cos??
对于法一是典型的“知一求二”题目，属于常规解法；法二是在学习完弦切互化技巧后，利用sin2??cos2??1进行恒等变形求解，但思维量过大，尤其需要用到
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“1”的代换。法三与法四都是回归到三角函数的定义，从“数”与“形”两个角度来求解。运算量小，时间短，是最佳的解决方案。
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第三章 数学决策在高中教学应用的调查研究
一、调查时间与对象
本调查从2010年9月开始，对山东省博兴一中（省级规范化学校）高一年级的两个平行班进行调查。其中高一12、13两个班在学科上配备的教师相同，在入学时是由教务处按照学生中考成绩进行随机分班。其入学基本情况，如下表所示：
人数 男 县址农村学生数 15 17 -2 38 40 -2 19 17 2 统招生 自费生 统招生平均数学成绩 85 85 0 自费生平均数学成绩 69 70 1 女 学生数 实验班 对照班 差异 57 57 0 27 27 0 30 30 0 42 40 2 表3-1 入学基本情况
调查共发放问卷114份，回收111份，剔除无效问卷后，得到有效问卷106份。只要学生对性别、成绩、问题有漏填的都被判定为无效问卷。
二、调查问题与方法
调查问题：了解高一新生在解决问题的过程中决策意识的情况及数学学习动机强度。
问卷编制：数学学习动机问卷调查表根据《成功学生全面素质测评手册》编制。共18题，其中奇数题调查内部动机，偶数题调查外部动机。采用Likert-5点计分法，计分范围从“非常不同意”得1分至“非常同意”得5分。决策意识调查问卷表根据华中师范大学梁宇颂、周宗奎编制的《学业自我效能感量表》、李明振2007年编制的《数学建模自我监控问卷》、范文贵2005年编制的《数学探究学习调查问卷》，同时参考了课程标准对高中生的要求改编而成。用SPSS软件对问卷进行信度分析及因子分析，信度相关系数为0.867，效度相关系数为0.7。问卷共16题，包括发现问题的能力（1-5）、适应能力（6-9）、决策优化能力（10-13）、检验能力（14-16）。仍然采用Likert-5点计分法，计分范围从“完全不符合”得1分至“完全符合”得5分。
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三、数据分析与结果
（一）高一新生的决策意识各维度情况
从图3-1可以看出：从整体上看，高一学生决策意识的组成从发现问题的能力、适应能力、决策优化能力、检验能力平均值在2.9-3.4之间。其中发现问题的能力、 适应能力得分较高，而决策优化能力和检验能力，尤其是检验能力运用较差。
图
3-1高一新生的决策意识各维度情况
（二）高一学生决策意识各维度在性别上的差异分析
发现问题能力 性别 男 N 51 Mean 3.4275 标准差 .76422 标准误 .10701 女 适应能力 男 55 51 3.2291 3.3235 .54626 .70408 .07366 .09859 女 决策优化能力 男 55 51 3.2182 3.2794 .63657 .72568 .08583 .10162 女 检验能力 男 55 51 3.0273 3.1046 .66436 .79580 .08958 .11143 女 55 2.7697 .69351 .09351 表3-2基本描述性统计量
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