?a11?a1n?A??????a?amn?m1??? C?(c1,c2??cn) ??TTx?(x1,x2??xn) b?(b1,b2,?bm)
线性规划问题的标准形式
maxZ?CX?AX?b??x?0 （3-1）
二、模糊线性规划
在实际问题中，有时线性规划的约束条件带有模糊性，这就是解谓的模糊线性规划，其模型为
maxZ?c1x1?c2x2???cnxn
~?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?~?a21x1?a22x2???a2nxn?b1? ? ? ?~?am1x1?am2x2???amnxn?bm??xj(j?1,2?n)
~这是“?”表示一种弹性约束，可读作“近似小于等于”.“近似小于等于”
n是一个模糊概念，可以用一个模糊集来表示它.?aijxj表示第i个约束的左
j?1n边表达式，模糊集Di表示“
?j?1~aijxj?bi”这一事实，当
n?aj?1ijxj?bi 时，完
全接受约束，应有Di(x)?1;适当选择一个伸缩系数di，约定当
nn?j?1naijxj?bi?di时，不认为
?j?1~aijxj?bi，这时应有Di(x)?0;当
?aj?1ijxj?[bi,bi?ai]时，Di(x)应从1下降到0，表示约束程度降低.为了简
单可行，Di(x)规定如下：
~设 X?xx?Rn,x?0，对每一个约束aijxj?bi，相应地有X中一个
??模糊渠Di与之对应，它的隶属函数为
??1 aijxj?bi ?nnn?Di(x)?fI(?aijxj)?1?(?aijxj?bi)/di bi??aijxj?bi?di
j?1j?1j?1?n??0 ?aijxj?bi?di j?1?
其中di是适当选择的常数，叫做伸缩指标，di?0i?1,2,?m，这样
一来,我们将弹性约束转化成模糊约束,再令D?D1?D2???Dm就将全部约束条件转化成一个模糊约束.
~当di?0(i?1,2?m)时,D退化为普通约束集D，模糊约束条件中“?”
退化为“?”
模糊线性规划的模型简记为
maxZ?Cx~?AX?b （3-2） ??x?0约束的弹性必然导致目标的弹性，为将目标函数模糊化，先求解普通线性规划问题：
maxZ?Cx
?AX?b 满足 ? （3-3）
x?0?以及 maxZ?Cx 满足 ???AX?b ?d x?0 （3-4）
T其中d?(d1,d2,?,dm)称为（3-2）的伸缩指标向量.
设Z0是(3-32)的最优值，Z1是(3-4)的最优值.Z0所满足的约束条件为
Ax?b，对应的模糊约束D(x)?1.若适当降低模糊约束的隶属度D(x)，可
以相应提高目标函数值Z,Z1所满足的约束条件已放到最宽Ax?b?d，对
应的模糊约束D(x)也接近于0.于是目标函数的弹性可表示为
Z0?Z?Cx?Z1.为此构造模糊目标集G(x)?F(X).其隶属函数为
n??0 ?cjxj?z0j?1?nn?cjxj)??(?cjxj?z0)/d0 z??cjxj?z0
j?1?j?1n??1 ?cjxj?z0)j?1?nG(x)?g(?j?1 其中d0?Z1?Z0
由模糊目标的上述隶属函数可知，当D(x)?1时，G(x)?0，要提高目标函数值使之大于Z0.就必须降低D(x).为了兼顾目标与约束，可采用模糊决策为DF?D?G，最佳决策为x?，x?满足
DF(x)?maxx?X?DF(x)?maxx?X?(D(x)?G(x))
若令??D(x)?G(x), 则有
max(D(x)?G(x))?max??D(x)??,G(x)?0,??[0,1]x?X?
?max??D1(x)??,?,Dn(x)??,G(x)??,??[0,1]x?X?于是求最佳决策x?的问题，就转化为求普通线性规划问题：
maxZ??n??1?(?aijxj?bi)/di?? (i?1,2,?m)j?1?n ?(cx?Z)/d????jj00j?1?????0,xj?0 (j?1,2?n)?
即
maxZ???n??aijxj?di??bi?di (i?1,2?m)?j?1 （3-5） ?cx?d??Z?jj00?????0xj?0(j?1,2?n)?
求解上述普通规划问题，可得
最佳决策 x??(x?1,?,x?n)T
n目标函数值 Z???c?jxj.
j?1
例5：求解模糊线性规划问题
maxZ?x1?3x2?x3?x1?2x2?x3?8???x1?3x2?x3?2 ??x1,x2,x3?0取伸缩指标d1?2,d2?8
解 (一)解普通线性规划
maxZ?x1?3x2?x3?x1?2x?2?x3?8??x1?3x2?x3?2 ??xi?0i?1,2,3最优解x(0)?(4,2,0)T最优值
(二)解普通线性规划
maxZ?x1?3x2?x3?x1?2x2?x3?8?2???x1?3x2?x3?2?8 ??xi?0i?1,23,4,5最优解x(1)?(2,4,0)T Z1?14 Z0?10(3-6) (三) 解普通线性规划
maxZ???x1?2x2?x3?2??8?2 ??x?3x?x?8??2?8 ?123?x?3x?x?(14?10)??023?1 解 这个线性规划采用大M法 原线性规划改写为
maxZ???Mx7?x1?2x2?x3?2??x4?10???x1?3x2?x3?8??10 ?x?3x?x?4??x?x?102367?1(M充分大的正数)
∴x??(3,3,0)T ??1/2
从而(3-4)的最优值
例6某企业根据市场信息及自身生产能力，准备开发甲、乙两种系列产品.甲种系列产品最多大约能生产400套，乙种系列产品最多大约能生产250套.据测算，甲种产品每套成本3万元，每套获纯利润7万元；乙种系列产品每套成本2万元，每套获纯利润3万元.生产甲、乙两种系列产品的资金总投入大约不能超过1500万元.在上述条件下，如何安排两种系列产品的生产，才能使企业获利最大？
解 设甲种系列产品生产x1套，乙种系列产品生产x2套，则 目标:maxz?7x1?3x2
~?3x1?2x2?1500 (1)?~?x1?400 (2)约束:?~ （3-7）
?x2?250 (3)?x?0,x?02?1设约束条件（1）、（2）、（3）的伸缩系数分别取为d1?50（元），d2?5（套），
d3?5（套）.为将目标函数模糊化，解经典线性规划问题
使