???J(x0???x)??0?0
再由（4）式，便可得到（5）式。
变分法的基本引理：?(x)?C[x1,x2]，??(x)?C1[x1,x2]，?(x1)??(x2)?0，有
?x2x1?(x)?(x)dx?0，
则 ?(x)?0, x?[x1,x2]。 证明略。
1.2.2 泛函极值的必要条件
考虑最简泛函（3），其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取为满足端点条件为固定端点（6）的二阶可微函数。
x(t0)?x0，x(tf)?xf （6）
泛函极值的必要条件：设泛函（3）在x(t)∈S取得极值，则x(t)满足欧拉方程
Fx?ddtFx??0 （7）
欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分：
?J? ? ????tfJ(x(t)???x(t))?????0
dt
?t0?(t)???x?(t))F(t,x(t)???x(t),x??0?tft0?)?x?Fx?? [Fx(t,x,x?(t,x,x)?x]dt对上式右端第二项做分布积分，并利用?x(t0)??x(tf)?0，有
?所以
tft0?)?x?dt???Fx?(t,x,xddttfddtt0?)?xdt， Fx?(t,x,x?J??tft0[Fx?Fx?]?xdt
利用泛函极值的变分表示，得
?tft0[Fx?ddtFx?]?xdt?0
因为?x的任意性，及?x(t0)??x(tf)?0，由基本引理，即得（7）。 （7）式也可写成
??Fx?x????0 （8） Fx?Ftx??Fxx?xx通常这是关于x(t)的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。 1.2.3几种特殊形式最简泛函的欧拉方程
?，即F?F(t,x) (i) F不依赖于x 这时Fx??0，欧拉方程为Fx(t,x)?0，这个方程以隐函数形式给出x(t)，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。
(ii) F不依赖x，即F?F(t,x?) 欧拉方程为
ddt?)?0 Fx?(t,x?)?c1，由此可求出x???(t,c1)，积分后得到可能的将上式积分一次，便得首次积分Fx?(t,x极值曲线族
x????t,c?dt
1?，即F?F(x?) (iii) F只依赖于x这时Fx?0,Ftx??0,Fxx??0，欧拉方程为
??Fxx?x??0
??0或Fx?x??0，如果???0，则得到含有两个参数的直线族x?c1t?c2。另外xx由此可设?若Fx?x??0有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数c的直线族
x?kt?c，它包含于上面含有两个参数的直线族 x?c1t?c2 中，于是，在F?F(x?)情
况下，极值曲线必然是直线族。
?，即F?F(x,x?) （iv）F只依赖于x和x这时有Ftx??0，故欧拉方程为
?Fxx???xFx?x??xFx??0
此方程具有首次积分为
?FxF?x??c1
事实上，注意到F不依赖于t，于是有
ddt?Fx?)?Fxx??Fx??????Fx??x?(F?xxxddt?(Fx?Fx??xddtFx?)?0。
1. 3 几个经典的例子
1.3.1 最速降线问题
最速降线问题 设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结A和B的平面曲线中，求一曲线，使质点仅受重力作用，初速度为零时，沿此曲线从A滑行至B的时间最短。
解 将A点取为坐标原点，B点取为B(x1,y1)，如图1。根据能量守恒定律，质点在曲
线y(x)上任一点处的速度
1dsdt2满足（s为弧长） A(0, 0) x ?ds? m???mgy
2?dt?将ds?21?y'(x)dx代入上式得 B(x1,y1) dt?1?y'2dx
y 图1最速降线问题
2gy于是质点滑行时间应表为y(x)的泛函
J(y(x))??x21?y'202gydx
端点条件为
y(0)?0,y(x1)?y1
最速降线满足欧拉方程，因为
F(y,y')?1?y'2y
不含自变量x，所以方程（8）可写作
Fy?Fyy'y'?Fy'y'y''?0
等价于
ddx(F?y'Fy')?0
作一次积分得
y(1?y'2)?c1 令 y'?ctg?2,则方程化为
y?c11?y'2?c1sin2?2?c12(1?cos?)
又因
dyc1sin?cos?2d?dx?c1y'?2?2(1?cos?)d?
ctg?2积分之，得
x?c2(??sin?)?c2
由边界条件y(0)?0，可知c2?0，故得
c1?x?(??sin?)??2 ??y?c1(1?cos?).??2这是摆线（园滚线）的参数方程，其中常数c1可利用另一边界条件y(x1）?y1来确定。 1.3.2 最小旋转面问题
最小旋转面问题 对于xy平面上过定点A(x1,y1)和B(x2,y2)的每一条光滑曲线
y(x)，绕x轴旋转得一旋转体。旋转体的侧面积是曲线y(x)的泛函J(y(x))，易得
J(y(x))??x2x122?y(x)1?y'(x) dx
容许函数集可表示为
S?y(x)|y(x)?C[x1,x2],y(x1)?y1, y(x2)?y2
?1?解 因F?y1?y\ 不包含x，故有首次积分
F?y'Fy'?y1?y'?y'y2y'1?y'2?c1
化简得 y?c11?y'2
令y'?sht，代入上式， y?c11?sh2t?c1cht 由于 dx?dyy'?c1shtdtsht?c1dt
积分之，得 x?c1t?c2 消去t，就得到y?c1chx?c2c1 。
这是悬链线方程，适当选择条件（令该悬链线过（0，1/a）点，且该点处的切线是水平的）就可得到（1）。本例说明，对于平面上过两个定点的所有光滑曲线，其中绕x轴旋转所得旋转体的侧面积最小的是悬链线！
1.3.3 悬链线势能最小
1691年，雅可比·伯努利证明：悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能。下面我们用变分法证明之。
考虑通过A、B两点的各种等长曲线。令曲线y＝f(x)的长度为L，重心坐标为(x,y)，
则
L?由重心公式有
?bads??ba1?(dydx)dx
2x??bax1?(Ldydx)dx2 ， y??bay1?(Ldydx)dx2
由于只需探讨曲线重心的高低，所以只对纵坐标的公式进行分析，注意到问题的表述，说明L是常数，不难看出重心的纵坐标是y(x)的最简泛函，记作
J(y(x))?b?ay(x)1?(y?)dx
2此时对应的欧拉方程（8）可化为
yy???(y?)?1?0
2令p?dydx解得 y2?k(1?p2),k?0，进而得
1kch[k(x?c)]。
y?此即为悬链线，它使重心最低，势能最小！大自然中的许多结构是符合最小势能的，人们称之为最小势能原理。 1.4 泛函极值问题的补充
1.4.1 泛函极值的几个简单推广
（ⅰ）含多个函数的泛函 使泛函
J(y(x),z(x))??x2x1F(x,y,y',z,z')dx
取极值且满足固定边界条件
y(x1)?y1,y(x2)?y2,z(x1)?z1,z(x2)?z2.
的极值曲线y?y(x),z?z(x)必满足欧拉方程组
d?Fy?Fy'?0??dx ??F?dF?0zz'?dx?（ii）含高阶导数的泛函
使泛函 J(y(x))??x2x1F(x,y,y',y\)dx
取极值且满足固定边界条件