maxz?7x1?3x2?3x1?2x2?1500? （4） ?x1?400??x2?500?x?0,x?02?1用单纯形法求解，得z0?3250，x1?400，x2?150 再解经典线性规划问题
maxz?7x1?3x2?3x1?2x2?1500 ?50? (5) ?x1?400 ?5 ??x2?250?5?x?0,x?02?1解得
z1?z0?d0?3337.5，x1?405，x2?167.5
于是
d0?3337.5?3250?87.5
将z0、d0、d1、d2、d3代入(3-5)，将原问题经为经典线性规划问题：
max?
?3x1?2x2?50??1500?50?x?5??400?5?1?使 ?x2?5??250?5
?7x?3x?87.5??32502?1????0,x1?0,x2?0??
上述线性规划问题最优解为x1?402.5，x2?158.75，??0.5.因此安排甲种系列产品403套、乙种系列产品159套（取整数）时，能获得最大利润，最大利润为：
z?7x1?3x2?3293.75万元
???对比经典线性规划问题（4），利润提高43.75万元，这是因为甲种系列产品403套比400套多3套；乙种系列产品生产159套比150套多9套，这是在伸缩指标允许范围内.总费用3x1?2x2?1527元虽然比1500超出27元，这也是伸缩指标允许的.以上讨论说明，在适当放松约束时可以提高利润.
??
Z??3?3?3?0?12
编者：山东科技大学济南校区公共课部 唐林炜 张来亮 樊铭渠
高国成 麻兴斌
参考文献
1、胡淑礼 模糊数学及其应用，四川大学出版社，1994.
2、张跃、邹寿平、宿芬，模糊数学方法及其应用，煤炭工业出版社，1992. 3、李安贵、张志宏、段凤英、模糊数学及其应用，冶金工业出版社，1994. 4、杨雄、李崇文，模糊数学和它的应用，天津科技出版社，1993. 5、唐林炜、樊铭渠伪模糊度的公理化定义及余滋伪模糊度，系统工程理论与实践，1999（8）.
6、唐林炜、高国成、樊铭渠、无解的模糊关系方程的最优近似解，模糊系统与数学，1999（3）.
§1 变分法简介
作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：
约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”
这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程
?dydy2?a1?()?2dx?dxy(0)?y0??y?(0)?0??2
解此方程并适当选取参数，得
y?12a(eax?e?ax) （1）
即为悬链线。
悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变
分法来证明！
现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函的概念
设S为一函数集合，若对于每一个函数x(t)?S有一个实数J与之对应，则称J是定义在S上的泛函，记作J(x(t))。S称为J的容许函数集。
例如，在[x0,x1]上光滑曲线y(x)的长度可定义为
J??x1x01?y?dx （2）
2考虑几个具体曲线，取x0?0,x1?1， 若y(x)?x，则
J(y(x))?J(x)?1?01?1dx??x2
?1若y(x)为悬链线，则
J(ex?e2?x)??101?(ex?e4?x)2dx??1ex?e20dx?e?e2
1对应C[x0,x1]中不同的函数y(x)，有不同曲线长度值J，即J依赖于y(x)，是定义在1函数集合C[x0,x1]上的一个泛函，此时我们可以写成
J?J(y(x))
我们称如下形式的泛函为最简泛函
J(x(t))??tft0?(t))dt （3） F(t,x(t),x?(t)。上述曲线长度泛函即为一最简泛函。 被积函数F包含自变量t，未知函数x(t)及导数x1.1.2 泛函极值问题
考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：
在所有连接定点A(x0,y0)和B(x1,y1)的平面曲线中，试求长度最小的曲线。 即，求y(x)?y(x)y(x)?C1[x0,x1],y(x0)?y0,y(x1)?y1，使 J(y(x))????x1x01?y?dx
2取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为，
称泛函J(x(t))在x0(t)?S取得极小值，如果对于任意一个与x0(t)接近的x(t)?S，都有J(x(t))?J(x0(t))。所谓接近，可以用距离d(x(t),x0(t))??来度量，而距离可以定义为
?(t)?x?0(t)|} d(x(t),x0(t))?max{|x(t)?x0(t)|,|xt?t?t0f泛函的极大值可以类似地定义。其中x0(t)称为泛函的极值函数或极值曲线。
1.1.3 泛函的变分
如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数x(t)在x0(t)的增量记为
?x(t)?x(t)?x0(t)
也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作
?J?J(x0(t)??x(t))?J(x0(t))
如果?J可以表为
?J?L(x0(t),?x(t))?r(x0(t),?x(t))
其中L为?x的线性项，而r是?x的高阶项，则称L为泛函在x0(t)的变分，记作 ?J(x0(t))。用变动的x(t)代替x0(t)，就有?J(x(t))。
泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数?的导数：
?J(x(t))?这是因为当变分存在时，增量
?J?J(x(t)???x)?J(x(t))?L(x(t),??x)?r(x(t),??x) 根据L和r的性质有
L(x(t),??x)??L(x(t),?x)
limr(x(t),??x)?limr(x(t),??x)???J(x(t)???x(t))??0 （4）
??0???0??x?x?0
所以
???J(x???x)??0?limJ(x???x)?J(x)??0?
?limL(x,??x)?r(x,??x)??0??L(x,?x)??J(x)
1.2 泛函极值的相关结论
1.2.1 泛函极值的变分表示 利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。
泛函极值的变分表示：若J(x(t))在x0(t)达到极值（极大或极小），则
?J(x0(t))?0 （5）
证明：对任意给定的?x，J(x0???x)是变量?的函数，该函数在??0处达到极值。根据函数极值的必要条件知