自测练习（一）
一、选择题：
??1.若级数?un?1n收敛于s,则级数??un?1n?un?1??C.收敛于2s?u1?。D.发散
A.收敛于2s2.若级数B.收敛于2s?u12?an?1?n收敛，则级数?an?1?n??。C.发散D.可能收敛也可能发散
A.绝对收敛B.条件收敛n3.幂级数?n?n?1?xn?1??的收敛区间是??。D.??11，?
A.??11，?4.若幂级数n?1B.??11，?nC.??11，??cn?x?2?在x??2处收敛，则此级数在x?5处B.绝对收敛C.发散??。
A.条件收敛D.可能收敛也可能发散5.设函数f?x?是以2?为周期的周期函数，在区间?0，2??上f?x??x2, 则f?x?的傅立叶级数在x?0处收敛于A.0
二、填空题：
?C.2?2?。D.4?2B.?21.已知limnun?k??0?,则n???un?1?n是_____________。2.级数1??111??????的敛散性为_____________。1?21?2?31?2???nn??1?n3.幂级数?x的收敛域是_____________。2n?1?2n?4.幂级数3233394x?x?x??在其收敛域上的和函数为_____________。4816???x?00?x??
???35.已知以2?为周期的函数f?x?????1?x
三、判别以下级数的敛散性：
则f?x?的傅立叶级数在x???处收敛于_____________。1.
???1?n?2?n??nn?1??2?n?1n?1??2 2.??n?n?1?5???1?????n四、设级数
?an及2n?1 ?bn都收敛，证明??an?bn?也收敛。2五、将函数f?x??
六、求幂级数
七、将f?x??1?x展开成x的幂级数，并求f5?10?。 1?x?3n?1?xnn?n在收敛域内的和函数，并求?n?3n?1???1?nn 的和。?4?x在?0,??上展开成正弦级数。 2自测练习（二）
一、选择题：
???1.设级数?an?1n2和?bn?1n2都收敛,则级数?abn?1nn??2n?。D.可能收敛也可能发散
A.绝对收敛B.条件收敛?C.发散?2.设有级数?1??n?1?3n?1?n,级数?2??sin3n?1?,则?
?。
A.级数?1?收敛,级数?2?发散B.级数?1?发散,级数?2?收敛C.两级数都收敛D.两级数都发散3.幂级数?n?1?n??x?5?2n?1n2n?4的收敛域是B.?3,7??C.??7,3??n?1?。D.??9,1?A.??2,2?4.设级数?axn?1n及?bxnn?1?n的收敛域半径都是R，级数??an?bn?xn的收敛半径为R1则必有C.R1?RD.R1?R???。
?。
A.R1?RB.R1?R?,0?x?h2?1?cosnh?15.已知函数f?x???的正弦展开式是?sinnx,该级数的和函数为s?x?,则?nn?1,h?x????01?h?1?h??h??h?A.s?0??0,s?????1B.s?0??,s?????C.s?0??0,s????1D.s?0??1,s?????12?2?2?2??2??2?
二、填空题：
1.正项级数?un,若limn?1???un?1?k,则当________时级数收敛；当_______时级数发散。n??un2.若?an?s,则??3an?4an?1??_________。n?1n?1n5nn3.幂级数?n2x的收敛域为__________。n?13?n?n?12n?14.幂级数?x的和函数为s?x??_________。n?0n!???1?
5.函数f?x??ex在?0,2?上的正弦级数的和函数为s?x?,则s?11??_________。
三、判别以下级数的敛散性：
k?n1.???1?n2n?1n??常数k?0?2??1??22.un???1?ln?1??,判别?un与?un
n?n?1n?1?n
四、 已知级数?an收敛，常数??0，证明级数???1?n?1n?1??nann??2 绝对收敛。
x五、将f?x??xe在x0?2处展开成x的幂级数。
六、求幂级数
七、将函数f?x??2?x,??1?x?1?展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求出级数
??2n?1?xn?1?n 的收敛域及其和函数。?1 的和。?2n?1n自测练习（三）
一、选择题：
1.若级数??un?1?n和?vn?1?n都发散,则???n?1?。C.??un?vn?发散D.?max?un,vn?发散n?1?
A.??un?vn?发散n?1B.?unvn发散n?12.设un??ln?n?1?n,v??n?1,2,??,则n2n?1n!n???n?1n?1n?1??n?1?。???n?1n?1n?1
A.?un收敛，?vn发散B.?un发散,?vn收敛C.?un?vn均收敛D.?un?vn均发散n?13.设幂级数?anxn在x??2处条件收敛,则该级数在x?2处必n?1??10?。
A.条件收敛2B.发散?n?1C.绝对收敛D.以上结论都不对4.设f?x??x,0?x?1,而s?x???bnsinn?x,???x???,其中bn?2?f?x?sinn?xdx,?n?1,2,???1?则s???等于?2?1A.?4?B.???。12?n?1
C.14D.125.已知A.3???1?n?1?n?1an?2,?a2n?1?5,则?an等于n?1?D.9?。
B.7?C.8二、填空题：
1.幂级数?n?2?x?1?nn?lnn的收敛域为__________。x32.已知f?x??2的麦克劳林级数是__________。x?x?21?x3.已知f?x??ln,则f?n??0??__________。
1?x4.lim?1?x??x?1?3?nx2n?1?n?__________。5.2n?1的值等于__________。?nn?12?n!?三、判别以下级数的敛散性：
ann!1.?n?常数a?0?n?1n?n???1??1222.利用关系式ln?1?x??x?x?0?x?,讨论级数?ln?1?p?的敛散性?常数p?0?。?2n?n?1???n2n四、求幂级数?x的收敛域及和函数。
n!n?1xsint1sintdt展开成幂级数，并取展开式前三项计算?dt的近似值。五、将f?x??? 00tt
六、将f?x??arcsin?sinx?展成傅立叶级数。 七、设f?x???anxn?1?n?1在?0,1?上收敛，试证?1? f???收敛。n??n?1?自测（一）
一、选择题：C，D，A，C，A。二、填空题：1.发散。 2.收敛。 3.?-1,1?。32x 4.s?x??431?x2??2 5.。2三、1.条件收敛；四、五、f?x??1?2?xnx???1,1?;f?n?1?5?,x?23。2.收敛。?0??240。34??3?x?3?,?s??1??ln。3?x3
?x?1七、f?x?????sin2nx?0?x???。42n?12n六、s?x??ln
自测（二）
一、选择题：A，B，C，C，A。二、填空题：1.k?1时收敛，k?1时发散。 2.4a1?s。?33? 3.??,?。?55? 4.x?x2?1?ex 5.?e?1。三、1.条件收敛；四、2en?3??n?12五、 2e???x?2?。?n?1?!0?2。2.?un条件收敛，?un2发散。六、 1?x?1?x?2,??1,1?。5?2?cosn??1?54七、 2?x???cosn?x??22221n?2?1?2??2n6n?1??0?1?2n?1?2cos?2n?1??x
。
自测（三）
一、选择题：C，D，C，A，C 。二、填空题：1.?2?x?0。 2.1???1?n?1????1?n?1?xn?33?1?x?1。0?2?? 3.f?x???2x2n?1?1?x?1n?12n?1 f?n??0?????0n?2k。??2?n?1?!n?2k?1 4.2。 5.??发散 ?三、1.原级数??收敛 a?e；2.原级数??发散 a?e ?条件收敛 ???绝对收敛 ?四、 s?x??x?x?1?ex???x???。?n五、 f?x?????1?n?1??2n?1?!x2n?1???x???n?0?2?1sint0tdt?0.9461。六、 4?n?1?????12sin?2n?1?x???n?1?2n?1?x???。七、 ?a1nxn?在?0，1?上收敛，?an收敛，所以an?Mn?1f??1??n????a?1?n??n????an?11nn?1?M?n?n?1???f??1??n?收敛，?f??1???n??绝对收敛，?f??1??n??收敛。 0?p?1212?p?1。p?1