例10
?1?如图所示:在一边长为2b的正三角形中挖去一倒放的等边三角形序列,从而其面积之和形成一无穷级数。
1?求这个无穷级数 2?求这个无穷级数的和，从而求出从原三角形中被挖去的总面积。?2?从点P1?1,0?作x轴的垂线,变抛物线y?x1?求OPn;2于点Q?1,1?,再从Q1作这条抛物线的切线与x轴交于P2;
然后又从P2作x轴的垂线,交抛物线于Q2,依次重复上述过程得到一系列的点P1,Q1;P2,Q2;?Pn,Qn;?2?求级数Q1P1?Q2P2??的和，其中n?n?1?为自然数。?3?设有两条抛物线y?nx2?11和y??n?1?x2?,记它们交点的横坐标绝对值为an,nn?1 ?Sn1?求这两条抛物线所围的平面图形的面积Sn;2?求级数?的和。n?1an1?2?2b?sin?3b2,23S1?132S0?b,4422
解（1）
原三角形面积S0?1332S2?3?S1??b,444
1?3??3?32S3?3?S2????S1???b,?4444????n?13?3?1?S1?S2???Sn???S1?S1?????4?4??3?2??Sn????n?1n?1?4???n?1?3?S1??????n?1?4??n?1?3?S1????n?1?4??n?132?b4
?32321b?b??3b2即所挖去小三角形面积之和为3b2。3441?4?a?切线与x轴交点为：?,0??2?解（2）
曲线y?x2上任一点?a,a2?处切线为：y?a2?2a?x?a?,?0?a?1?;111111?由OP?1,可知OP?OP?，OP?OP??OP?12132n22242n?1
2?由于QnPn?OPn????2?1?????2?2n?2
故?1?QP???nn??n?1n?1?2?2n?2?1?1?1????2?2?43解（3）
由y?nx2?11与y??n?1?x2?nn?1,其交点横坐标绝对值为：an?an1n?n?1???1?1?1?因图形关于y轴对称，所以sn?2???nx2????n?1?x2??dx0nn?1?????an?1411?2???x2?dx??? 03n?n?1?n?n?1??n?n?1??2?因此sn41???an3n?n?1??4?11????，3?nn?1?sn?441?4?从而????lim?1?。??n?1ann?13n?n?1?3n???n?1?3