【解答】解：（1）①PB=故答案为：
；
=．
②PA2+PC2=PB2，
证明：作∠PBP′=∠ABC=60°，且使BP′=BP，连接P′C、P′P，如图1：
∴∠1=∠2， ∵AB=CB，
在△ABP与△CBP′中，
，
∴△ABP≌△CBP′， ∴PA=P′C，∠A=∠BCP′， 在四边形ABCP中， ∵∠ABC=60°，∠APC=30°， ∴∠A+∠BCP=270°， ∴∠BCP′+∠BCP=270°，
∴∠PCP′=360°﹣（∠BCP′+∠BCP）=90°， ∵△PBP′是等边三角形， ∴PP′=PB，
在Rt△PCP′中，P'C2+PC2=P'P2， ∴PA2+PC2=PB2；
（2）点P在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例： 如图2，当点P在CB的延长线上时，
第26页（共29页）
结论为PA2+PB2=PC2．
【点评】本题考查了几何变换问题，本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形全等的性质．
25．如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）． （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．
【分析】（1）由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式；
（2）假设存在，设出P点，解出直线CD的解析式，根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标；
（3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）． 把C（0，8）代入，得a=﹣1． ∴y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9， 顶点D（1，9）；
（2）假设满足条件的点P存在．依题意设P（2，t）．
第27页（共29页）
由C（0，8），D（1，9）求得直线CD的解析式为y=x+8， 它与x轴的夹角为45°．
设OB的中垂线交CD于H，则H（2，10）． 则PH=|10﹣t|，点P到CD的距离为又∴
． ．
． ）．
．
平方并整理得：t2+20t﹣92=0，解之得t=﹣10±8∴存在满足条件的点P，P的坐标为（2，﹣10±8
（3）由上求得E（﹣8，0），F（4，12）．
①若抛物线向上平移，可设解析式为y=﹣x2+2x+8+m（m＞0）． 当x=﹣8时，y=﹣72+m． 当x=4时，y=m． ∴﹣72+m≤0或m≤12． ∴0＜m≤72．
②若抛物线向下平移，可设解析式为y=﹣x2+2x+8﹣m（m＞0）． 由
有﹣x2+x﹣m=0． ∴△=1﹣4m≥0， ∴m≤．
∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．
，
第28页（共29页）
【点评】此题考查待定系数求抛物线解析式，第二问考查垂直平分线性质，利用距离相等解题，最后一问考抛物线的平移，要注意已知条件和技巧．
第29页（共29页）