高等数学模拟试题（一）
说明：考试时间120分钟，试卷共150分.
一、单项选择题（每小题2分，共50分.在每个小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后的括号内.）
1．已知f(x)的定义域为[-1,2]，则函数F(x)?f(x?2)?f(2x)的定义域为 ( ) (A)[?3,0] (B) [?3,1]
(C) [?11,1] (D) [?,0] 22x2sin2．limx?0sinx1x= ( ) (A) 无穷 (B) 不存在 (C) 0 (D) 1
x?0?x?1?1,?3．设f(x)?? 则x=0是函数f(x)的 ( ) x?0,x?0?(A)可去间断点 (B) 无穷间断点 (C)连续点 (D) 跳跃间断点
44．方程x?x?1?0，至少有一个根的区间是 ( ) 1122(C) (2,3) (D) (1,2)
(A)(0,) (B) (,1)
5．f(x)?(x?x0)??(x)其中?可导，则f?(x0)? ( ) (A) 0 (B) ?(x0) (C)??(x0) (D) ? 6．设f(x)?xsinn1(x?0)且f(0)?0，则f(x)在x=0处 ( ) xnx?0(A)仅当limf(x)?limxsinx?01?f(0)?0时，才可微 x(B)在任何条件下都可微 (C) 当且仅当n>1时才可微 (D) 因sin1在x=0处无定义，所以不可微 x7.设f(x)在[a,?)上二次可微，且f(a)?0,f?(a)?0,f??(x)?0(x?a)，则方程f(x)?0在[a,?)上
( )
(A) 没有实根 (B)有多个实根
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(C) 有且仅有一个实根 (D)无法判断是否有实根
8．下列函数在[?1,1]上满足罗尔定理条件的是 ( ) (A)y?1 (B) y?1?x x(C)y?x(x2?1) (D) y?ln(1?x) 9．设函数f(x)有连续的二阶导数，且f?(0)?0,limx?0f??(x)?1，则 ( ) x(A) f(0)是函数的极大值 (B) f(0)是函数的极小值
(C) (0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点
(D) f(0)不是f(x)的极值，(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点
10．若d?f(x)??d?g(x)?，则下列各式中不成立的是 ( ) ??(A)f(x)?g(x) (B) f?(x)?g?(x) (C)d?f(x)??d?g(x)? (D) d11．由曲线y?
??f?(x)dx??d??g?(x)dx?
1
，直线y?x,x?2所围成图形面积为 ( ) x
2211(A)?(?x)dx (B) ?(x?)dx
1x1x222211(C) ?(2?)dy??(2?y)dy (D) ?(2?)dx??(2?x)dx
1111xy12．I?(A)?120x3?2x2?xdx，则求该积分时正确的做法是I= ( )
102?20x?1?x?dx (B) ?x?x?1?dx????x?1?x?dx??21x?x?1?dx
(C) ?200x?1?x?dx (D) ???????0x?x?1?dx
????13．对于非零向量a,b满足a?3b?7a?5b,a?4b?7a?2b，则向量a,b夹角为 ( )
?? (B) 64??(C ) (D)
32(A) ?y2?z2?2x?014．曲线?在xOy平面上投影曲线方程为 ( )
?z?3?y2?2x?y2?2x?9(A) ? (B) ?
z?0??z?0?y2?2x?y2?2x?9(C ) ? (D) ?
?z?3?z?3第 2 页 共 28 页
15．函数f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数存在是f(x,y)在该点连续的 ( )
(A) 充分条件但不是必要条件 (B) 必要条件但不是充分条件 (C ) 充要条件 (D) 既不是充分条件也不是必要条件 16．函数z?ln41的定义域为 ( ) ?arcsin2222x?yx?y(A) 1?x2?y2?4 (B) 1?x2?y2?4 (C ) 1?x2?y2?4 (D) 1?x2?y2?4 17．改变
(A)
?dx?12x22?xf(x,y)dy积分次序得 ( ) ?10dy?422?y5yf(x,y)dx (B) ?dy?0122?y2?yf(x,y)dx+?dy?14142y5yf(x,y)dx f(x,y)dx (C )
?dy?02?yf(x,y)dx (D) ?dy?012f(x,y)dx+?dy?218．设D：x2?y2?R2，则
(A)
??Dx2?y2dxdy? ( ) ??Rdxdy??RD3 (B) ?2?0d??rdr??R2 0R(C )
?2?0d??R02?R23rdr??R (D) ?d??R2dr?2?R3 003219．简单闭曲线C所围区域D的面积为 ( ) 11xdx?xdyydy?xdx (B) 2?c2?c11 (C ) ?ydx?xdy (D) ?xdy?ydx
2c2c1n1?)，则级数 ( ) 20．设un?(?1)ln(n (A) (A) ?un?1?n与?un?1?2n收敛 (B) 2n?un?1?n与
?un?1?2n都发散
2n(C ) ?un?1??n收敛而?un?1?发散 (D) ?un?1?n发散而
?un?1?收敛
21．设级数a收敛（a为常数），则有 ( ) ?nn?1q(A)q?1 (B) q?1 (C ) q??1 (D) q?1 22．级数
?nen?1??nx的收敛域是 ( )
(A) x??1 (B) x?0 (C ) 0?x?1 (D) ?1?x?0
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23．微分方程y???2y??x的特解应设为y?? ( )
(A) Ax (B) Ax?B (C ) Ax?Bx (D) Ax?Bx?C
24．过函数y?f(x)的图形上点(0,?2)的切线为：2x?3y?6且该函数满足微分方程y???6x，则此
函数为 ( ) (A) y?x2?2 (B) y?3x2?2 (C ) 3y?3x3?2x?6?0 (D) y?x?3222x 325．微分方程xdy?ydx?y2eydy的通解为 ( ) (A) y?x(ex?C) (B) x?y(ey?C)
(C ) y?x(C?e) (D) x?y(C?e) 二、填空题（每小题2分，共30分）
1． 设f(x)为连续奇函数且f(2)?1，则limf(x)? ______________. x??2xy2． lim(1?3x)x?01sinx?______________.
3． 曲线y?x?ex在点（0，1）处的切线斜率k?_________________________. 4． 函数f(x)?x3?x在[0，3]上满足罗尔定理的??_______________. 5． 函数f(x)?x?2cosx在[0,32?2]上的最大值为_______________. 6． 曲线f(x)?x?3x?2x?1的拐点为_________________________. 7． 设f(x)?sinx?cos2x，则f(27)(?) ___________________. 21x?18． 不定积分：?edx?___________________. d2sin2xdx?____________________. 9． dx?110．设???0e?tdt?2?2，则???1x20e?xdx= _______________________.
11.将xOz平面内曲线z?5x绕x轴旋转一周，生成的旋转曲面的方程为 ______________________________. 12．由方程：ex?y?xyz?ez确定的隐函数z?z(x,y)的偏导数
n?z= ______________. ?xxn13．幂级数1??(?1)2的收敛域为____________.
nn?1?第 4 页 共 28 页
?
(?1)nxn14．级数?的和函数S(x)为________________. n2n?015．若d[e?xf(x)]?exdx，则f(x)?________________. 三、计算题（每小题5分，共40分） 1．求limsin6x?6x.
x?02x3dy. dx22．设y?xx?2xxx，求
x23．求积分??(x)dx，其中f(x?1)?ln2，且f[?(x)]?lnx.
x?24lnx4．求定积分?1dx.
x4?z?z5．设z?f2(x,xy)，其中f具有一阶连续的偏导数，求,. ?x?y6．计算
?10dx?x2e?ydy.
x2127．将f(x)?ex?2x展开为（x+1）的幂级数并求其收敛域. 228． 求微分方程：2x(yex?1)dx?exdy?0的通解. 四、应用题（每小题7分，共21分）
1． 用a元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积的材料费的1.2倍，求水池的长与宽各多少米，才能使水池的容积最大？ 2．由曲线y?x3和直线x?2,y?0围成一平面图形，试求： （1）该平面图形的面积；
（2）该平面图形绕y轴旋转一周的旋转体体积. 3．求微分方程cosydy?siny?ex的通解. dx12x?ln(1?x). 2
五、证明题（9分） 证明：当x>0时，有x?
答 案
一、单项选择题 1. D 2. C 3. A 4. D 5. B 6. C 7. C 8. C 9. C 10. A 11. B 12. B 13. C 14. B 15. D 16. A 17. B 18. C 19. D 20. C 21. D 22. B 23. C 24. C 25. D 二、填空题
1．-1 2．e 3．2 4. 2 5.
3?6?3 1x?16．(1,1) 7．0 8．?e229．0 10. ? 11. y?z?5x
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