50. 若z?f(e2siny,x2?y2)，f具有连续的二阶导数，求51. 求
?xe??D2?ｚ?ｚ. ,?x?y?y2dxdy，其中D为x2?y2?9.
3n2n52. 求幂级数?x的收敛域（要考虑区间的端点）.
n?1n?1?53.求微分方程(1?x2)y??2xy?2x2的通解. 四、应用题（每题７分，共14分）
54. 曲线y?0,x?8,y?x2围成曲边三角形OAB，在曲边OB上求一点，过此点作y?x2的切线，使该切线与直线段OA、AB所围成的三角形面积为最大，求该点的坐标.
55. y?sinx,x?[0,?]与x轴所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转，试分别求其旋转体的体积. 五、证明题（６分）
56. 设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f?(x)?0，记F(x)?证明：在（a,b）内F(x)单调递减.
1xf(t)dt. ?ax?a第 16 页 共 28 页
高等数学模拟试题（四）
说明：考试时间120分钟，试卷共150分.
一、单项选择题（每小题2分，共60分.在每个小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后的括号内.）
2??ln(x?1),1?x?21. 设函数f(x)??，则f(x)的定义域为
2??9?x,2?x?3 （ ）
A.1?x?3 B.1?x?3 C.1?x?2或2?x?3 D.x?1或x?3
?xx2.设f(x)为奇函数，则F(x)?f(x)(2?2)为
（ ）
A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.无法确定 3. 若lim(1?)?2，则常数k＝
x???kxx （ ）
A.e B.e C.ln2 D.?ln2
4. 设函数f(x)和g(x)在点x0处不连续，而函数h(x)在点x0处连续，则函数（ ）在x0处必不连续. A.f(x)?g(x) B.f(x)g(x) C.f(x)?h(x) D.f(x)h(x) 5. 若f(x)是奇函数，且f?(0)存在，x?0是函数F(x)?2f(x)的 x （ ）
A.跳跃间断点 B.可去间断点 C.连续点 D.以上都不对 6. 设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)，但f(x)不恒为常数，则在(a,b)内 A.必有最大值或最小值 B.既有最大值又有最小值
C.既有极大值又有极小值 D.至少存在一点使?，得f?(?)?0 7. 设f(x)为可导函数且满足limx?0 （ ）
f(1)?f(1?x)??1，则f?(1)?
2x （ ）
A.2 B.－1 C.1 D.－2 8. 设函数f(x)具有2008阶导数，且f(2006)(x)?[f(x)]2,则f(2008)(x)?
（ ）
2A.2f(x)f?(x) B.2[(f?(x))?f(x)f??(x)] 2C.[(f?(x))?f?(x)f??(x)] D.f(x)f??(x)
9. 曲线y?4x?1 2(x?1) （ ）
A.只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线
C.既有垂直渐近线又有水平渐近线 D.既无垂直渐近线又无水平渐近线 10.曲线y?x?24x?6x的凹区间为
42 （ ）
A.（?2,2） B.(??,0) C.（0,??） D.(??,??)
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?t2d2y?x?11.由参数方程? （ ） 2确定函数y(x)的二阶导数2为
dx?y?1?t?1111A.?3 B.3 C. D.?
tttt12.函数f(x)?x3?2x在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中?的值为 A.
（ ）
1223 B. C. D. 2323113. 若f(x)?ktan(2x)的一个原函数为ln(cot2x)，则k＝ 3A.
（ ）
2233 B.? C. D.? 3322lnx?c，则?xf?(x)dx? 14. 若?f(x)dx? （ ） x1?lnx11?2lnxxlnx?x?c?c?c ?cA. B. C. D.x2xx15. 下列积分不为0的是
A.
??
1 ?1 2? （ ）
????cosxdx B.?2?sinxcosxdx C.?e?xdx D.?2sinxdx
?2?1?(sinx)2
（ ）
16. 下列式子中不成立的是 A.C. ?0
?0
??212lnxdx??(lnx)dx B.?2sinxdx??2xdx
1230ln(1?x)dx??xdx D.?exdx??(1?x)dx
00022217. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则?
baf(x)dx??f(t)dt的值
ab （ ）
A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不确定 18. 广义积分 A.收敛于???2dx x2?x?2 （ ）
231ln2 B.收敛于ln2 C.收敛于ln2 D.发散 3232219. 方程：x?y?z?0在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（ ）旋转抛物面. A.球面 B.圆锥面 C.旋转抛物面 D.圆柱面 20. limsin(x?y)?
x?1(x?y)(x?y)y?1 （ ）
A. 0 B .-1 C.1 D. 2 21．若fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0，则函数f(x,y)在点(x0,y0)处
（ ）
A.有极值 B.无极值 C.不一定有极值
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D.有极大值
22. 方程x?y?z?ez确定了z?z(x,y)，则A.
?z?z?＝ ?x?y （ ）
1111 B. C. D. eze2z?1(x?y?z?1)2x?y?z?1h?023. 设f(x,y)在点(a,b)处有偏导数存在，则limf(a?h,b)?f(a?h,b)?
h （ ）
A.0 B.fx(2a,b) C.fx(a,b) D.fx(a,b) 24. 设I?A.C.
?dx?0y442xxf(x,y)dy,交换积分次序后，I?
4
y24?yy （ ）
?40dy?y2f(x,y)dx B.?dy?0104f(x,y)dx ?40dy?1f(x,y)dx D.?dy?y2f(x,y)dx 4425. 把积分A.C.
?a0dy?a0a2?y20f(x,y)dx化为极坐标形式为
2? cos? （ ）
??2?0d??f(rcos?,rsin?)rdr B.?d??0asin?0f(rcos?,rsin?)dr
?20?0d??0f(rcos?,rsin?)rdr D.?2d??f(rcos?,rsin?)rdr
0aA(1,0),B(1,1),D(0,1)为顶点的正方形的正向边界，26. 设L为以点O(0,0)，则x2ydy?xy2dx＝（ ）
?LA .1 B.2 C.3 D. 0 27.级数
?(un?1?n?vn)发散，则?un与?vn必定
n?1n?1??? （ ）
A.都发散 B.一个发散一个收敛 C.至少有一个发散 D.具有相同的敛散性 28. 当（ ）时，级数?[n?11n?p?11]收敛. n(p?1)A.p?1 B.p?2 C.p?0 D.0?p?2 29.设幂级数?a(x?2)nn?1?n在x?6处收敛，则该级数在x??3处
（ ）
A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.敛散性不定
230.当二阶微分方程(1?y)y???2(y?)?0降阶时，令p?y?，则需将y??转化为
（ ）
A.dpdpdpdp B.x C. D.p dxdxdydy二、填空题（每题２分，共30分）
31.设f(x)为(??,??)上的奇函数，且满足f(1)?a,f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(2)?_________. 32.设f(x)?11?e1xf(x)?limf(x)?_________. ，则lim??x?0x?0第 19 页 共 28 页
2
33.曲线y?cosx在横坐标为x??处的切线方程为_________. 34.函数f(x)?x4?2x2?5在区间[?2,2]上的最大值为_________. 35函数f(x)?x2?cosx的单调增区间为________.
2336.若F?(x)?f(x)，则(x?1)f(x?3x?1)dx?________.
?37.设x?x121f(t)dt?e?x?，则f(1)?________.
e38.设f(x)??39.广义积分
1?x,0?x?1，则?f(x?1)dx?________.
?1?1,1?x?2???2dx?________. 2x(lnx)x2y2z240.方程2?2?2?1所代表的曲面是xOy面上的曲线________绕x轴旋转一周而成的.
acc2241.已知z?ln1?x?y，则dz|(1,1)?________.
42.
1?x2?(y?2)2?4??d??________.
43.已知级数
?(2?n?1?1) (un?0)收敛，则limun?________. n??unex?e?x44.函数f(x)?关于x的幂级数展开式为_______. 21?x?x45.已知y??xe是微分方程y???2y??3y?e的一个特解，则该方程的通解为_______.
4三、计算题（每题５分，共４０分） 46. 计算limcos(sinx)?1. x?03x247. 已知xy3?3x2?(x?1)y?1，求y?(0).
2x48.设xf(x)dx?e?c，求??1dx. f(x)49.计算?|x(2x?1)|dx. 0150.已知exyz?z?sinxy?6,求dz. 51.计算二重积分
???1?D1x2?y2d?，其中D为x2?y2?1.
(2x?3)n52.求幂级数?的收敛区间（要考虑区间的端点）.
2n?1n?153.设f(x)可微，
?[2f(t)?1]dt?f(x)?1，求f(x).
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