6.计算
22.其中D是由抛物线y?2x与直线y=x围成的平面闭区域. (x?y)dxdy??D7.将函数f(x)?1展开成（x-1）的幂级数. 2x?x?68.求微分方程xy??(1?x)y?e2x在0?x???内的通解.
四、应用题（每题7分，共14分）
1.欲建一无盖的长方体容积，已知底部造价为每平方米3元，侧面造价为每平方米1元，现计划用 36元钱造一个容积最大的容器，求它的尺寸.
2.曲线y?x2(x?0)与其上某点A处的切线及x轴所围成的面积恰为的旋转体的体积.
五、证明题（共6分） 证明：2xarctanx?ln(1?x)
21，求该图形绕x轴旋转所成12答 案 一、单选题
1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.D 8.A 9.C 10.C 11.A 12.B 13.C 14.B 15.A 16.B 17.B 18.B 19.C 20.A 21.C 22.C 23.B 24.D 25.A 26.C 27.B 28.A 29.C 30.B 二、填空题
1.0 2.第一类 3.e?t(cost?sint) 4.?6.(0,0)及(,?x1dx 5.0
1?x?y2316) 7.103 8.1 9.3 10.-18π 2710
11.x?e?C 12.[-1,3) 13.-2 14.收敛 15.y???2y??3y?0 三、计算题 ex?etanxetanx(e1.【解析】 原式=lim=limx?0xtan2xx?0x3x?tanx?1),(etanx?1,x?0)
ex?tanx?1x?tanx,(e~x?tanx) =lim3x?0xx?tanx?10,(型) =lim3x?0x01?=limx?012cos2x?lim1?cosx?(?1)??1.
x?03x23x2cos2x6第 26 页 共 28 页
2
2.【解析】 两边取对数：lny=sinx·ln(1+x),∴
∴y′=y[cosx·ln(1+x)+
3.【解析】 原式=∫
2
1sinx2
?2x, y′=cosx·ln(1+x)+21?xy2x?sinx2x?sinx2sinx2
]=(1+x)(cosx·ln(1+x) +).
1?x21?x2x4?x2dx??111xxdx???d(4?x2)?arcsin??4?x2?arcsin?C,
24?x2224?x21111x212124.【解析】 原式=?arctanx?d(x)?x?arctanx??dx
00201?x2221?1111?x2?1?1=??dx??(x?arctanx)??. 0224201?x242?5．【解析】
?z?f?u?f?fy?f?????e??ey?fu(u,x,y)?fx(u,x,y), ?x?u?x?x?u?x?z?f?u?f?f?f?????xey??xeyfu(u,x,y)?fy(u,x,y), ?y?u?y?y?u?y?0?x?26.【解析】 如右图所示,积分区域D可表示为：?， x?y?2x?于是
??(x?y)dxdy??dx?D0222xx(x?y)dy=?(2x?x?x3?022521226. x)dx?2217.【解析】 函数 f(x)=11?11? ???(x?3)(x?2)5?x?3x?2??111?? x?115x?11?1?23=?1?111???????5?(x?1)?2(x?1)?3?10n?1?x?1(x?1)2?1?x?1(x?1)2(x?1)nn(x?1)=-??1????????1?????(?1)?????? 2n2n10?232233?15???1?11nn= (?(?1)?)(x?1),(|x?1|?2) ?n?15n?02n?138.【解析】 原方程可化为：y′+y=[?q(x)·e
∫p(x)dx
1?x1y?e2x, 于是，其通解为： xx-∫p (x)dx
dx+C]e
12x?=[?e?ex四、应用题
1?xxdx?C]e
??1?xdxx=[?edx+C]e
x
x-lnx
1exe2x?[e+c]·e·=C·.
xxxx
x
1.【解析】 设长方形的三棱长分别为x,y,z,则体积V=xyz, 又3xy+2(yz+xz)=36,
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令 f(x,y,z,λ) =xyz+λ(3xy+2yz+2xz-36)
?fx?f?y令??fz?f???yz?3?y?2z??0?xz?3?x?2z??0?xy?2?y?2x??0?3xy?2yz?2xz?36?02
2 求解得：x=2,y=2,z=3.
于是，用36元所造的具有最大容器的尺寸是长2米，宽2米，高3米.
2.【解析】 设A点坐标为（a.a）,过A点的切线方程为：y-a=2a(x-a), aaa1a322于是与x轴交点为(,0),则： ?xdx??a(2ax?a)dx?, 212?0122于是a=1,进而V=π
?10xdx???1(2x?1)dx?22
412?30. 五、【证明】 令f(x)=2x·arctanx-ln(1+x),则f′(x)=2arctanx+又f″(x)=
2x2x??2arctanx, 1?x21?x22, 进而 f′(0)=0,f″(0)=2>0,∴ x=0点是f（x）的最小值点. 1?x22∴ 对任意的x∈(-∞,+ ∞),有f(x）≥f (0)=0,∴ 2xarctanx≥ln(1+x).
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