四、应用题（每题７分，共１４分）
54.某产品的产量依赖于两种生产要素投入量，当两种生产要素投入量依次为x,y时，产量为
z?20?x2?10x?2y2?5y.已知两种生产要素单价依次为1和2，产品的单价为5，求最大利润.
?x2,0?x?255.已知平面图形由y?0,y?3与y??围成，求此图形的面积，并求其绕y轴旋转所得旋转
6?x,x?2?体的体积.
五、证明题（６分）
56.设f(x)在区间[0,1]上连续，在区间(0,1)内可导，且f(0)?1,f(1)?0. 证明:在(0,1)内至少存在一点，使f(?)??f?(?)?0.
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高等数学模拟试题（五）
说明：考试时间120分钟，试卷共150分.
一、单项选择题（每小题2分，共60分） 1.( )
A.(-1,0)∪(0,3) B.[-1,0）∪(0,3) C.（-1,0] ∪(0,3] D.(0,3) 函
数
f(x)=ln(3-x)+arctan
x?1x的定义域是
ex?12.函数y=x在定义域内是 ( ) e?1A.有界的偶函数 B.无界的偶函数 C.有界的奇函数 D.无界的奇函数 3.极限limx??x?sinx= ( ) x2
A.2 B.1 C.0 D.不存在 4.当x→0时,x-tanx是x的 ( ) A.低价无穷小 B.高阶无穷小 C.等价无穷小 D.同阶非等价无穷小 5.设f(x)=??2x?a,x?0?e(sinx?cosx),x?0x在(-∞,+∞)内连续,则a= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2 6.设函数f(x)在x=0点具有二阶导数,且f(0)=0,f′(0)=1,f〞(0)=3,则极限limx?0f(x)?x= 2x( )
3 D. ∞ 2f(1)?f(1?x)7.设周期函数f(x)在(-∞,+ ∞)内可导,周期为4,又lim=-1,则曲线y=f(x)在点
x?02xA.0 B.1 C.(5,f(5))处的切线斜率为 ( ) A.1 B.0 C.-1 D.-2 2?x?f(t)??dy8.设?,其中f可导,且f′(0)≠0,则= ( ) 3ty?f(e?1)dx?t?0A.3 B.2 C.1 D.0 9.函数y=
x ( ) 21?xA.在(-∞,+∞)内单调增加 B.在(-∞,+∞)内单调减少
C.在(-1,1)内单调增加,其余区间内单调减少 D.在(-1,1)内单调减少,其余区间内单调增加 10.
设
函
数
f(x)=
x3?x,则曲线y=f(x)
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( )
A.仅有水平渐近线 B.仅有垂直渐近线 C.既有水平渐近线又有垂直渐近线 D.无渐近线
11.曲线y=xarctanx的图形 ( ) A.在(-∞,+∞)内是凹的 B.在(-∞,+∞)内是凸的
C.在(-∞,0)内为凸,在(0,+∞)内为凹 D.在(-∞,0)内为凹,在(0,+∞)内为凸 12.方程x-3x+1=0在区间(0,1)内 ( ) A.无实根 B.有唯一实根 C.有两个实根 D.有三个实根 13.设函数f(x)在x=0的某领域内连续,且f(0)=0, limx?03
f(x)=2,则f(x)在点x=0处
1?cosx( )
A.不可导 B.可导,且f′(0)≠0 C.取得极大值 D.取得极小值 14.设f(x)的导函数是sinx,则f(x)的一个原函数为 ( ) A.1+sinx B.1-sinx C.1+cosx D.1-cosx 15.设f(x)连续,则
3??3x[f(x)+f(-x)-x]dx= ( ) A.-18 B.-9 C.9 D.18 16.设f(x)连续,且
?tf(x?t)dt?1?cosx,则?0x?20f(x)dx? ( ) A.0 B.1 C.-1 D.-2 17.积分
??0tsintdt? ( ) A.2π B.π C.?? D.
4218.下列广义积分收敛的是 ( ) A.???2??lnx????lnx1dx B.?dxdx C. D. lnxdx 2??222xxlnxx19.直线l:??x?3y?2z?1?0与平面π:4x-2y+z-2=0的位置关系为 ( )
2x?y?10z?3?0?A.直线l平行于平面π B.直线l在平面π上 C.直线l垂直于平面π D.直线l与平面π斜交 20.设f(x,y)?x2?(y2?1)tanx,则fx(1,1)? ( ) yA.2 B.1 C.0 D.-1 21.设z?arctanA.C.
x?y,则dz= ( ) x?y11(xdy?ydx)(xdy?ydx) B.
x2?y2x2?y211(xdy?ydx)(xdy?ydx) D.2222x?yx?y第 23 页 共 28 页
x?2z22.设z?esin,则? ( )
y?x?y(2,1)?x?e2?2?A.0 B. 2 C. 2 D. ?
e?e23.二次积分A.
?20?ydx·edy? ( ) ?x221111(1?e?2) B. (1?e?2) C. (e?2?1) D. (e?1) 222224.化积分为极坐标形式,则
??2a0dx?2ax?x20(x2?y2)dy? ( ) 2?2aA.
??d??2?22acos?0rdr B. ?d??r3dr 300?C.
?20d??2acos??0rdr D. ?d??2022acos?01r3dr 13·x?…,|x|? ,则?8f(x)dx? ( ) 25.设f(x)?1?2·3x?3·3·x+…+n·031234A. B. C. D.
555522n?1n?1xn26.幂级数?n的收敛区间(不包括端点)为 ( ) n?13?n?A.(-1,1) B.(?,) C.(-3,3) D.(-∞,+∞) 27.下列数项级数中,绝对收敛的是 ( ) A.1133?(?1)n?1?n?1?11n?1 B.?(?1)· ·3ln(n?1)n?1n?1nn?1C.?(?1)· D.?(?1)·
n?1nn?1n?1n?1?28.微分方程ydx?(x2?4x)dy?0的通解为 ( ) A.(x?4)y?Cx B. xy?C(x?4) C. (y?4)x?Cy D. yx?C(y?4) 29.微分方程xy???3y??0的通解为 ( )
4444C2C22y?Cx? B. 1xx2C2C22C. y?C1?2 D. y?C1x?2
xxA.y?C1x?30.微分方程y???y?e?1的一个特解应具有的形式为 ( ) A.ae?b B. axe?b C. ae?bx D. axe?bx 二、填空题（每小题2分，共30分）
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xxxxx
1.若limx?0f(x)?2,则limf(x)? .
x?0x2.从极限角度把间断点分类，点x=0是函数f(x)?t?d2y?x?e? . 3.设?，则2tdx??y?esint11的 间断点.
1?ex24.设方程y=1-ln(x+y)确定一隐函数y=y(x)，则dy= . x21在[?,1]上的最小值是 . 5.函数y?1?x26.曲线y?3x4?4x3的拐点是 . 7.设|a|=5,|b|=1,
1x=
?，则|2a-3b|= . 38.lim(1?xy)? .
x?0y?09.设区域D:0?x?1,0?y?4,则??D3xdxdy? . 210.设L是取正向的圆周x2?y2?9，则曲线积分(2xy?2y)dx?(x?4x)dy? . ?11.设f?(lnx)?1?x,则f(x)? . 12.如果级数
nc(x?1)在x??1处收敛，而在x=3处发散，则它的收敛域为 . ?nn?0?13.设函数f(x)?cos2x,则f(10)(0)? . 14.如果数项级数?un?1?n收敛，则级数?un?1?n?10的敛散性为 . 15.以y?C1ex?C2e?3x为通解的常系数二阶线性齐次微分方程为 . 三、计算题（每小题5分，共40分）
ex?etanx1.求lim. x?0xtan2x2.求y?(1?x)3.求4.求
2sinx的导数dy. dx?10x?14?x2dx. ?x?arctanxdx.
y5.设z?f(u,x,y),u?xe，其中f可微，求
?z?z,. ?x?y第 25 页 共 28 页