【本讲教育信息】
一. 教学内容：
等差等比数列综合应用
二. 重点、难点
1. 等差等比数列综合题
2. 数列与其它章节知识综合 3. 数列应用题
【典型例题】
[例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。
解：等差数列为a?d,a,a?d
2??(a?d)?(a?d)?(a?4)∴ ? 2??(a?d)(a?d?32)?a222??a?d?a?8a?16(1)∴ ?2 22??(a?d)?32(a?d)?a(2)∴ a?8a?16?32?32d?a
222?3a?4d?0代入（1）
1?d2??8?(4d?2)?16
33d2?32d?64?0 (3d?8)(d?8)?0 826 a? 3921050∴ 此三数为2、16、18或、?、
999① d?8 a?10 ② d?
q?(0,1)，[例2] 等差数列{an}中，a1??393，b1?2，a2?a3??768，{bn}是等比数列，
{bn}所有项和为20，求：
（1）求an,bn （2）解不等式
am?1???a2m??160b2
m?1解：（1）∵ 2a1?3d??768 ∴ d?6
∴ an?6n?399 ∴ bn?2?(b19 ?20 q?101?q9n?1) 101m(am?1?a2m)9不等式?2??160?2?
m?1101?m(6m?393?12m?399)??16?18?(m?1)
29m2?396m?16?18?(m?1)?0
m2?12m?32?0
(m?4)(m?8)?0 m?{4,5,6,7,8}
[例3] {an}等差，{bn}等比，a1?b1?0，a2?b2?0，a1?a2，求证：an?bn(n?3)
解：a2?b2?a1?d?a1q ∴ d?a1(q?1)
bn?an?a1qn?1?a1?(n?1)d?a1[(qn?1?1)?(n?1)(q?1)] ?a1[(q?1)(qn?2?qn?3???1)?(n?1)(q?1)] ?a1(q?1)[(qn?2???1)?(n?1)]
?a1(q?1)[(qn?2?1)?(qn?3?1)???(q?1)?(1?1)]*
q?(0,1) q?1?0 qn?1?0 ∴ *?0 q?(1,??) q?1?0 qn?1?0 ∴ *?0
∴ n?N n?3时，bn?an
[例4] （1）求Tn；（2）Sn?T1?T2???Tn，求Sn。
?a4?a5?a6?a7??48?a1??21解：? ??a?a???a?0d?2?915?8Tn中共2n?1个数，依次成等差数列
T1~Tn?1共有数1?2???2n?2?2n?1?1项
∴ Tn的第一个为a2n?1??21?(2n?1?1)?2 ∴ Tn?2n?1?(2n?23)?1n?1(2)?(2n?1?1)?2 2?22n?1?23?2n?1?22n?2?2n?1 ?3?22n?2?3?2n?2
Sn?T1?T2???Tn
?3[(20?22???22n?2)?(23???2n?2)]
1(1?4n)23(1?2n)?3?[?]?4n?1?3?2n?3?24
1?41?2?4n?24?2n?23?(2n?23)(2n?1)
?a1?a2???a2n?1
t?2t2[例5] 已知二次函数y?f(x)在x?处取得最小值?(t?0)，f(1)?0
24（1）求y?f(x)的表达式；
n?N，（2）若任意实数x都满足等式f(x)?g(x)?anx?bn?xn?1[g(x)]为多项式，
试用t表示an和bn；
（3）设圆Cn的方程为(x?an)2?(y?bn)2?rn2，圆Cn与Cn?1外切(n?1,2,3,?)；
*{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn,Sn。
t?22t2)? 解：（1）设f(x)?a(x?242由f(1)?0得a?1 ∴ f(x)?x?(t?2)x?1
（2）将f(x)?(x?1)[x?(t?1)]代入已知得：
(x?1)[x?(t?1)]g(x)?anx?bn?xn?1
上式对任意的x?R都成立，取x?1和x?t?1分别代入上式得：
?an?bn?11n?1t?0a?[(t?1)?1]，且，解得?nn?1t?(t?1)an?bn?(t?1)bn?t?1[1?(t?1)n] t（3）由于圆的方程为(x?an)2?(y?bn)2?rn2
又由（2）知an?bn?1，故圆Cn的圆心On在直线x?y?1上 又圆Cn与圆Cn?1相切，故有rn?rn?1?设{rn}的公比为q，则
n?1??rn?rnq?2(t?1)?1? ?n?2??rn?1?rn?1q?2(t?1)?2?2|an?1?an|?2(t?1)n?1
r<2>÷<1>得q?n?1?t?1 代入<1>得rn?rn∴ Sn??(r?r???r)?21222n2(t?1)n?1
t?2?r12(q2n?1)q2?1
2?(t?1)42n?[(t?1)?1] 3t(t?2)
[例6] 一件家用电器现价2000元，可实行分期付款，每月付款一次且每次付款数相同，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算（每一个月的利息计入第二个月的本金），那么每期应付款多少？（1.008?1.1)
分析：这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和。
解析一：设每期应付款x元
第1期付款与到最后一次付款时所生利息之和为x(1?0.008)元，第2期付款与到最后一次付款时所生利息之和为x(1?0.008)元，??，第12期付款没有利息，所以各期付
1011121.00812?1x 款连同利息之和为x(1?1.008???1.008)?1.008?111又所购电器的现价及利息之和为2000?1.008
12
1.00812?1x?2000?1.00812 ∴
1.008?116?1.00812?176元 解得x?121.008?1∴ 每期应付款176元
解析二：设每期付款x元，则
第1期还款后欠款2000?(1?0.008)?x
第2期还款后欠款(2000?1.008?x)?1.008?x?2000?1.0082?1.008x?x ??
12第12期还款后欠款为2000?1.008?(1.00811?1.00810???1)x
第12期还款后欠款应为0
12∴ 2000?1.008?(1.00811?1.00810???1)x?0
2000?1.00812解得x??176元 121.008?11.008?1∴ 每期应还款176元
[例7] 设数列{an}的各项都是正数，且对任意n?N?都有
333a1?a2??an?(a1?a2???an)2，记Sn为数列{an}的前n项和。
2（1）求证：an?2Sn?an；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若bn?3n?(?1)n?1??2a，（?为非零常数，n?N?），问是否存在整数?，使得对任意n?N?都有bn?1?bn。
32解：（1）在已知式中，当n?1时，a1?a1
∵ a1?0 ∴ a1?1
33332当n?2时，a1?a2???an?1?an?(a1?a2???an?1?an) ① 3332 ② a1?a2???an?(a?a???a)?112n?1