3①－②得an?an(2a1?2a2???2an?1?an)
22∵ an?0 ∴ an?2a1?2a2???2an?1?an，即an?2Sn?an 2∵ a1?1适合上式 ∴ an?2Sn?an(n?N?) 2（2）由（1）知，an?2Sn?an(n?N?) ③ 2当n?2时，an?1?2Sn?1?an?1 ④
22③－④得an?an?1?2(Sn?Sn?1)?an?an?1?2an?an?an?1?an?an?1
∵ an?an?1?0 ∴ an?an?1?1
∴ 数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an?n （3）∵ an?n ∴ bn?3n?(?1)n?1??2
[例8] 已知点Aa(n,an)为函数F1:y?*an?3n?(?1)n?1??2n
x2?1上的点，Bn(n,bn)为函数F2:y?x上的
点，其中n?N，设cn?an?bn(n?N*)
（1）求证：数列{cn}既不是等差数列也不是等比数列； （2）试比较cn与cn?1的大小。 （1）证：由已知an?n2?1，bn?n ∴ cn?an?bn?n2?1?n
假设{cn}是等差数列，则必有2c2?c1?c3?（1） 而2c2?2(22?1?2)?2(5?2)
c1?c3?(11?1?1)?(32?1?3)?2?10?4
由（1）?25?2?10?2?5矛盾
∴ {cn}不是等差数列
假设{cn}是等比数列，则必有c2?c1?c3 即(5?2)2?(2?1)(10?3)
26(1?5)??32?10 即47?215矛盾
∴ {cn}不是等比数列
综上所述，{cn}既不是等差数列，也不是等比数列 （2）cn?1?(n?1)2?1?(n?1)?0 cn?n2?1?n?0
c∴ n?1?cn∵ 0?(n?1)2?1?(n?1)n?1?n2?n2?1?n(n?1)?1?(n?1)2
n2?1?(n?1)2?1
0?n?n?1 ∴ 0?n2?1?n(n?1)?1?(n?1)2?1
∴ 0?
cn?1?1 又∵ cn?0 ∴ cn?cn?1 cn[例9] 设f(x)?1x，x?f(x)有唯一解，f(x1)?，f(xn)?xn?1(n?N*)
1003a(x?2)（1）求x2004的值；
22an4?1?an（2）若an?且bn?求证： ?4009。b1?b2???bn?n?1；(n?N*)，
xn2an?1an*（3）是否存在最小整数m，使得对于任意n?N有xn?m成立，若存在，求出m2005的值；若不存在，说明理由。
（1）解：由x?x，可以化为ax(x?2)?x
a(x?2)∴ ax?(2a?1)x?0 ∴ 当且仅当a?从而f(x)?21时，x?f(x)有唯一解x?0 22xn2x 又由已知f(xn)?xn?1 得?xn?1 x?2xn?2∴
111111??，即??(n?N*) xn?12xnxn?1xn2111}是首项为，公差为的等差数列
2xnx1∴ 数列{
∴
11n?12?(n?1)x ???xnx122x1∴ x?2x1
(n?1)x1?22x1121 ∴ ，即x1? ?10032005x1?21003∵ f(x1)?222005∴ xn? ?2n?2004(n?1)??2200521?故x2004?
2004?200420042n?2004?4?4009?2n?1 （2）证明：∵ xn? ∴ an?n?200422?22an?an(2n?1)2?(2n?1)24n2?1?1∴ bn? ??22anan?12(2n?1)(2n?1)4n?1?1?211?1??
(2n?1)(2n?1)2n?12n?1∴ b1?b2???bn?n
11111?(1?1?)?(1??)???(1??)?n
3352n?12n?11?1??1
2n?12（3）解：由于xn?
n?20042m?(n?N*)恒成立 若
n?2004200522m2)max??∵ ( ∴
n?2004200520052005∴ m?2，而m为最小正整数 ∴ m?3
22[例10] 数列{an}是公差d?0的等差数列，其前n项和为Sn，且a10?1,a9?a15。
（1）求{an}的通项公式； （2）求Sn的最大值；
（3）将Sn表示成关于an的函数。
解：（1）因为y?x1?x?1?11?x 所以，函数y?x1?x(0?x?1)是增函数 由已知aann?1?1?a，0?an?1 n所以0?a1n?1?2 （2）因为aann?1?1?a(n?N*)，所以1a?1?an?1?1 nn?1anan所以
11*a?a?1(n?N)即数列{1}是首项为1，公差为n?1nana1的等差数列
所以
1a?1?(n?1)，aan?na1?(n?1)a(n?N*)
（3）由已知aan?1?(n?1)a?11?1（∵ 0?a?1）
a?(n?1)n所以a1a2aa2?3?34???n111n?1?1?1?2?3???n?(n?1)?1?1n?1?1 （答题时间：45分钟）
1. 数列{a1n}的通项公式是an?n?n?1，若前n项和为10，则项数n为（ A. 11
B. 99
C. 120
D. 121
2. 数列11,31,51248,7116,?,(2n?1)?12n,?的前n项之和为Sn，则Sn的值等于（A. n2?1?1212n B. 2n?n?1?2n
C. n2?1?1212n?1 D. n?n?1?2n
3. 数列{a?2n2n}的前n项和Sn?3n?1，则a4?a5?a6???a10?（ ）A. 171 B. 21
C. 10
D. 161
4. 已知
1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n?115116(n?N*)，则n的值为（ ）
A. 110 B. 115 C. 116 D. 231
5. 一个正整数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：
）
【模拟试题】 ）
则第8行中的第5个数是（ ）
A. 68 B. 132 C. 133 D. 260
6. 农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）
A. 4200元—4400元 B. 4400元—4600元 C. 4600元—4800元 D. 4800元—5000元 7. 数列{an}中，a1??60，且an?1?an?3，则这个数列前30项的绝对值的和是（ ） A. 700 B. 765 C. －495 D. 495 8. 数列5，55，555，?的前n项和为（ ） A.
5(10n?1)?n 9
B. 10?1
n50(10n?1)5n?C.
81950(10n?1)?n D.
819. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1?2?1?2?0?2?1?2?13，那么将二进制数
3210(111?11)2转换成十进制形式是（ ） ?????16位A. 217?2 B. 216?2 C. 216?1 D. 215?1
10. 数列{an}前n项和Sn与通项an满足关系式Sn?nan?2n2?2n(n?N*)，则
a100?a10的值为（ ）
A. －90
B. －180
C. －360
D. －400
11. 数列1?n,2(n?1),3?(n?2),4?(n?3),?,n?1的和为（ ）
1n(n?1)(n?2) 61C. n(n?2)(n?3)
3A.
*
1n(n?1)(2n?1) 61D. n(n?1)(n?2)
3B.
12. 设{an}(n?N) 等差数列，Sn是其前n项和，且S5?S6,S6?S7?S8，则下列结论错误的是（ ）
A. d?0
B. a7?0