6、求根公式法 例5设直线l过点试求
AP的取值范围. PBPBx2y2P（0，3），和椭圆??1顺次交于
94A、B两点，
分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP=?xA，但从此后却一
xB筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
分析1: 从第一条想法入手，
APx=?A已经是一个关系式，但由于PBxB有两个变量xA,xB，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将xA,xB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 求根公式 xA= f（k），xB = g（k） AP/PB = —（xA / xB） 得到所求量关于k的函数关系式 由判别式得出k的取值范围
所求量的取值范围
简解1：当直线l垂直于x轴时，可求得
AP1??; PB5当l与x轴不垂直时，设A?x1,y1?,B(x2，y2)，直线l的方程为：
y?kx?3，代入椭圆方程，消去y得9k2?4x2?54kx?45?0
??解之得
x1,2?27k?69k2?5?.
9k2?4因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k?0的情形.
22?27k?69k?5?27k?69k?5， k?0当时，x1?，x2?229k?49k?4x1?9k?29k2?518kAP18所以 ==1???=1?PBx29k?29k2?59k?29k2?59?29?5.
k2由 ??(?54k)2?180?9k2?4??0, 解得 k2?，
59所以 综上
?1?1?189?29?5k2??1， 5?1?AP1??. PB5分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式
往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于
xAP??1不是关于x1,x2的对称关系式. 原因找到后，解决问题的PBx2方法自然也就有了，即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式.
简解2：设直线l的方程为：y?kx?3，代入椭圆方程，消去y得
把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 韦达定理 xA+ xB = f（k），xA xB = g（k） AP/PB = —（xA / xB） 构造所求量与k的关系式 由判别式得出k的取值范围
关于所求量的不等式 ?9k则
2?4x2?54kx?45?0 （*）
??54k?x?x?,2??19k2?4 ??xx?45.12?9k2?4?令
x1k2 ??，则，??1?2?324.x2?45k2?2059在（*）中，由判别式??0,可得 k2?， 从而有
1???5. 5324k236，所以 4??45k2?205 4???1??2?36，解得 5结合0???1得???1. 综上，?1?AP1??. PB515点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.
第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。
例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF?FB?1，OF?1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为?PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。 思维流程：
（Ⅰ） 由 AF ? FB ? 1 ， OF ?1
由F为?PQM的重心 ( a ? c )( a ? c ) ? 1 ， c ? 1
a?2,b?1 写出椭圆方程 PQ?MF,MP?FQ kPQ?1
（Ⅱ）
?y?x?m ?22 ?x?2y?2
消元
得出关于 m的方程 解出m 3x2?4mx?2m2?2?0 两根之和， 两根之积 MP?FQ?0
解题过程：
x2y2（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),则c?1
ab又∵AF?FB?1即 (a?c)?(a?c)?1?a2?c2，∴a2?2
x2故椭圆方程为?y2?1
2 （Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为?PQM的垂心，则