设P(x1,y1),Q(x2,y2)，∵M(0,1),F(1,0)，故kPQ?1， 于是设直线l为
3x2?4mx?2m2?2?0
?y?x?my?x?m，由?2得，2?x?2y?2∵MP?FQ?0?x1(x2?1)?y2(y1?1) 又yi?xi?m(i?1,2) 得x1(x2?1)?(x2?m)(x1?m?1)?0 即
2x1x2?(x1?x2)(m?1)?m2?m?0 由韦达定理得 2m2?24m2??(m?1)?m2?m?0
33解得m??或m?1（舍） 经检验m??符合条件．
点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．
例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过
?3?A(?2,0)、B(2,0)、C?1,?三点． ?2?4343（Ⅰ）求椭圆E的方程：
（Ⅱ）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(?1,0),H(1,0)，当ΔDFH内切圆的面积最大时，求ΔDFH内心的坐标；
思维流程： （Ⅰ） 得 到 m ,nm ,n 解出
由椭圆经过A、B、C三点 设方程为mx2?ny2?1 的方程
（Ⅱ） 由 ? DFH 内切圆面积最大 转化为 ? DFH 面积最大 转化为点 D 的纵坐标的绝对值最大最大 D为椭圆短轴端点
解题过程： （Ⅰ）设椭圆方程为mx2?ny2?1?m?0,n?0?，将
3A(?2,0)、B(2,0)、C(1,)代入椭圆E的方程，得
2得出D点坐标为?0,??DFH面积最大值为3 S?DFH1??周长?r内切圆 2r内切圆?3 3???3?? 3???4m?1,11x2y2?解得m?,n?.∴椭圆E的方程??1 ． ?94343m?n?1??4
（Ⅱ）|FH|?2，设ΔDFH边上的高为S?DFH??2?h?h
当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以S?DFH的最大值为3． 设ΔDFH的内切圆的半径为R，因为ΔDFH的周长为定值6．所以，
S?DFH?1R?6 212 所以R的最大值为3．所以内切圆圆心的坐标为(0,3)33. 12点石成金：S?的内切圆???的周长?r?的内切圆
0)及椭圆x2?3y2?5，过点C的动直线与椭圆例8、已知定点C(?1，相交于A，B两点.
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是?，求直线AB的方程； （Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使MA?MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 思维流程：
（Ⅰ）解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y?k(x?1)， 将y?k(x?1)代入x2?3y2?5， 消去y整理得
B(x2，y2)， 设A(x1，y1)，12(3k2?1)x2?6k2x?3k2?5?0.
???36k4?4(3k2?1)(3k2?5)?0， (1) ?则? 6k2?x1?x2??2. (2)3k?1?1x1?x23k21??2??，解得由线段AB中点的横坐标是?， 得
223k?12k??33，符合题意。
所以直线AB的方程为 x?3y?1?0，或 x?3y?1?0. （Ⅱ）解：假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA?MB为常数.
① 当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知
6k23k2?5x1?x2??2， x1x2?2. (3)
3k?13k?1所以MA?MB?(x1?m)(x2?m)?y1y2?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?1)(x2?1) ?(k2?1)x1x2?(k2?m)(x1?x2)?k2?m2.将(3)代入，整理得
114(2m?)(3k2?1)?2m?(6m?1)k?533?m2MA?MB??m2?223k?13k?1216m?14?m2?2m??. 233(3k?1)注意到MA?MB是与k无关的常数， 从而有6m?14?0，m??， 此时
4MA?MB?.
973② 当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为
742??2??m??MA?MB?. ，当时， 亦有?1，、?1，?????393??3??? 综上，在x轴上存在定点M??，0??，使MA?MB为常数.
?7?3114(2m?)(3k2?1)?2m?(6m?1)k?5233?m2 点石成金：MA?MB??m?3k2?13k2?12 ?m2?2m??16m?14.
33(3k2?1)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
思维流程：
x2y2解：（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)
ab?a?2b2?x2y2??a?8则?41解得?2 ∴椭圆方程为??1
82??1?b?2??22b?a（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m 又KOM= ?l的方程为：y?x?m
1?y?x?m??由?222?x2?2mx?2m2?4?0 ?x?y?1?2?81212∵直线l与椭圆交于
A、B两个不同点，
???(2m)2?4(2m2?4)?0,解得?2?m?2,且m?0（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可
设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1?x2??2m,x1x2?2m2?4 则k1?y1?1y?1 ,k2?2x1?2x2?2由x2?2mx?2m2?4?0可得
x1?x2??2m,x1x2?2m2?4
而k1?k2?y1?1y2?1(y1?1)?(x2?2)?(y2?1)(x1?2) ??x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)