11(x1?m?1)(x2?2)?(x2?m?1)(x1?2)2?2(x1?2)(x2?2)?x1x2?(m?2)(x1?x2)?4(m?1)(x1?2)(x2?2)
2m2?4?(m?2)(?2m)?4(m?1)?(x1?2)(x2?2)2m2?4?2m2?4m?4m?4??0 (x1?2)(x2?2)?k1?k2?0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形?k1?k2?0
x2y223例10、已知双曲线2?2?1的离心率e?，过A(a,0),B(0,?b)的直
3ab线到原点的距离是
3. 2 （1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y?kx?5(k?0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 思维流程： 解：∵（1）
d?aba2?b2c23?,a3?3.ab?c原点到直线AB：
xy??1ab的距离
3.2.
?b?1,a? 故所求双曲线方程为 （2）把
x2?y2?1.3
中消去
y?kx?5代入x2?3y2?3y，整理得
(1?3k2)x2?30kx?78?0.
设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则
x0?kBEx1?x215k5??y?kx?5?,0021?3k21?3k2y?11?0??.x0k
?x0?ky0?k?0,
15k5k2??k?0,又k?0,?k?7 即
1?3k21?3k2故所求k=±7.
点石成金: C，D都在以B为圆心的圆上?BC=BD?BE⊥CD; 例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（II）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是
左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
思维流程：
x2y2解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)，
ab
由已知得：a?c?3，a?c?1，
x2y2 ?椭圆的标准方程为??1． 22243?b?a?c?3a?2，c?1，（II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
?y?kx?m，联立? ?x2y2?1.??3?4得 (3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0，则
????64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，即3?4k2?m2?0，? 8mk?，?x1?x2??23?4k??4(m2?3).?x1x2?3?4k2?
3(m2?4k2)又y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?． 23?4k22因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，
?kADkBD??1，即
y1y2???1. ?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0． x1?2x2?23(m2?4k2)4(m2?3)15mk????4?0． ?7m2?16mk?4k2?0． 2223?4k3?4k3?4k解得：m1??2k，m2??2k，且均满足3?4k2?m2?0． 70)，与已知矛盾； 当m1??2k时，l的方程y?k(x?2)，直线过点(2，当m2??2k2??2?时，l的方程为y?k?，直线过定点x?0?． ???，777?????所以，直线l过定点，定点坐标为?0?． ?，?2?7点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点? CA⊥CB; 例
x2y212、已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右两个焦点分别为F1、F2,
ab点P在双曲线右支上. （Ⅰ）若当点P的坐标为(34116,)时,PF1?PF255,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若|PF1|?3|PF2|,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐
进线方程. 思维流程：
解：（Ⅰ）(法一)由题意知,PF1?(?c?3411634116,?), PF2?(c?,?), 5555?PF1?PF2,?PF1?PF2?0,?(?c?34134116)(c?)?(?)2?0 555（1分）
解得
c2?25,?c?5. 由双曲线定义得:
|PF1|?|PF2|?2a,
?2a?(?5?341216341216)?(?)2?(5?)?(?)25555?(41?3)2?(41?3)2?6,?a?3,b?4
?所求双曲线的方程为:
x2y2??1 916
(法二) 因PF1?PF2,由斜率之积为?1,可得解. （Ⅱ）设|PF1|?r1,|PF2|?r2, (法一)设P的坐标为
(x?,y?), 由焦半径公式得
,
r1?|a?ex?|?a?ex?,r2?|a?ex?|?ex??a2a22a2?r1?3r2,?a?ex??3(ex??a),?x???a,?2a?c， ,?x??a,?cc?e的最大值为2,无最小值.
cbc2?a2?e2?1?3, 此时?2,?aaa?此时双曲线的渐进线方程为y??3x
(法二)设?F1PF2??,??(0,?].
?2c?4r2, (1)当???时, ?r1?r2?2c,且r1?3r2，2a?r1?r2?2r2
此时
e?2c4r2??2. 2a2r2（0，?）(2)当??,由余弦定理得:
2（2c）?r1?r2?2r1r2cos??10r2?6r2cos?2222?
e?2cr2?10?6cos?10?6cos???2a2r22,
?cos??(?1,1),?e?(1,2),综上,e的最大值为2,但e无最小值. (以下
法一)