2、题型：综合题 3、难度级别：3
4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：矩阵的初等变换 8、试题内容：
设A,B为两个同型矩阵，试证：A,B的秩满足R?A??R?B?是A与B等价的充分必要条件.
9、答案内容： 证明:
必要性.A与B等价,则存在可逆矩阵P,Q,使PAQ=B?R(A)=R(B).充分性.设A,B为m?n矩阵,R(A)=R(B)=r.?r?(n?r)??Er则A~???F.??c?(n?r)?r(n?r)?(n?r)?r?Er?r?(n?r)?B~???F.??c?(n?r)?r(n?r)?(n?r)?r
?存在可逆矩阵P1,P2,Q1,Q2,使P1AQ1?P2BQ2.?1?1即A?PPBQQ1221?A与B等价.10、评分细则：由题设PAQ?B?R?A??R?B?(2分);将A经初等变换化为标准形(2分) 将B经初等变换化为标准形(2分);得出PAQ11?P2BQ2,P1,Q1,P2,Q2均可逆(2分);所以得出A与B等价(2分).
_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：347 2、题型：综合题 3、难度级别：4
4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10
6、所需时间：12分钟
7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：
已知四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，
?1,?2,?3是其解，且
1
?1??2??1,1,0,2?,?2??3??1,0,1,3?，求方程组的通解.
9、答案内容： 解:
TT设方程组为As?4x?b.R(A)?3.对于Ax?0.其基础解系含4-3=1个解.?1??2?(?2??3)??1??3是Ax?0的解.?1??2?(?2??3)?(0,1,?1,?1)T?0,?(0,1,?1,?1)T可以作为Ax?0的一个基础解系.111115(?1??2??2??3)?(2,1,1,5)T?(,,,)T为442444Ax?b的一个解.?1??2????0??1???1???Ax?b的通解为?4??c??,c为任意数.???1???1??4???1??5??? ?4?10、评分细则：由题设说明Ax?0的基础解系含一个解向量(2
分);?1??2???2??3???1??3是Ax?0的一个解(2分);说明?1??3可以作为Ax?0 的一个基础解系(2分);说明
1??1??2??3??4?为Ax?b的一个解(2分);所以得出4Ax?b的通解(2分).
_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：348 2、题型：综合题 3、难度级别：4
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：10
6、所需时间：15分钟
7、试题关键字：初等矩阵及矩阵的相似与合同 8、试题内容：
?1?1设A???1??1111111111??4??1?0,B???01???1??0000000000??0?试判断A与B是否合同，是否相似.若是，则求出?0?0?使它们合同的矩阵. 9、答案内容：
2
解:A与B合同且相似.E?1?2??E?41??1??E?31??1??E?21??1??E?21??1??E?31??1??E?41??1??E?1?2???B?2?1?1?1???0100?令P?E?21??1??E?31??1??E?41??1??E?1?2?????0010???0001??则P可逆,且PTAP?B?2?1?01?使A与B合同的矩阵为??00??00A??E?0??1??2??3?0,?4且R?A?0E??R?A??1?4?3,?4?0?A一定可以对角化,即A与B???0??0000??000?相似.?000?000??1?1??00?10??01??4
10、评分细则：判断出A与B合同且相似(2分);将A进行初等行变换与列变换化为B的过程以左乘及右乘初等矩阵的形式写出来(3分);因而写出使A与B合同的可逆矩阵P(2分);计算A的特征值(2分);写出与A相似的对角矩阵(1分).
_____________________________________________________________________________
1、试题序号：349 2、题型：综合题 3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性 5、分值：10
6、所需时间：15分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：
设向量组B:b1,b2,?,br能由向量组A:a1,a2,?,as线性表示为
?b1,b2,?,br???a1,a2,?,as?K，
3
其中K为s?r矩阵，且A组线性无关.证明B组线性无关的充分必要条件是R?K??r. 9、答案内容：
证充分性.R?K??r,则有R?b1b2?br??R?K??r.同时，R?b1b2?br??r.?R?b1b2?br??r.则b1,b2,?,br线行无关.必要性.设?b1b2?x1???x?br??2??0.??????xr??x1???x令x??2?.则Bx?0.?B?AK,则有AKx?0?A?Kx??0. ??????xr??a1,a2,?,as线行无关,?R?A??S.?Kx?0,R?K??r,?Kx?0?x?0.?b1,b2,?,br线行无关.10、评分细则：充分性,由题设推出R?b1,b2,?,br??r?R?K??r,且有
R?K??r??R?K?(4r分).必要性,令B??b1b2?br?,设Bx?0,则有AKx?0(2
分),由题设推出Kx?0?x?0(2分);所以b1,b2,?,br线性无关(2分).
_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：350 2、题型：综合题 3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算 5、分值：10 6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：可逆矩阵及分块运算 8、试题内容：
2已知3阶矩阵A与3维列向量x满足Ax?3Ax?Ax,且向量组x,Ax,Ax线性无关. 2（1） 记P?x,Ax,Ax，求3阶矩阵B，使AP?PB；（2）问A是否可逆，说明理由.
32??9、答案内容：
4
解:(1)AP=PB?A(x =(AxAxA2x)?(AxA2xA3x)A2x3Ax?A2x)?000???(xAxA2x)?103?.?01?1????000????B??103?.?01?1???(2)AP?PB?AP?PB.?x,Ax,Ax2线性无关,?P可逆.则A?B?0.?A不可逆.
10、评分细则：由题设及矩阵的分块运算法,计算出B(6分);由AP?PB?A?B(2分);所以A?B?0?A不可逆(2分).
_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：351 2、题型：综合题 3、难度级别：4
4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10
6、所需时间：12分钟
7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：
设4元非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵A的秩为3，?1,?2,?3是它的3个解向量，且
?1??2,3,4,5?,?2??3??1,2,3,4?，求该方程组的通解.
9、答案内容：
TT 5