解:设方程组为Ax?b.且R(A)?3.对于Ax?0,其基础解系只含一个解.?1??3?2?1?(?2??1)?(?3??1)为Ax?0的一个解.??3????4而?1??3?2?1????0可以作为Ax?0一个基础解系.??5?????6??2???3????? 3???4???Ax?b的通解为?c,c为任意常数.?4???5??????5???6?10、评分细则：由题设推出Ax?0的基础解系含一个解向量(2分);由题设得出Ax?0的一个非零解(2分);说明这非零解可以作为Ax?0的一个基础解系(2分);求出Ax?b的一个解(2分);得出Ax?b的通解(2分).
_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：352 2、题型：综合题 3、难度级别：4
4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容：
设???a1,a2,a3?,???b1,b2,b3?,???c1,c2,c3?，证明三直线
TTTl1:a1x?b1y?c1?0;l2?a2x?b2y?c2?0；l3:a3x?b3y?c3?0,
其中ai2?bi2?0,i?1,2,3，相交于一点的充分必要条件为：向量组?,?线性无关，而向量组?,?,?线性相关. 9、答案内容：
6
证明:?a1x+b1y+c1=0?三直线交于一点??a2x+b2y+c2=0有唯一解.?ax+by+c=033?3?a1x+b1y+c1=0?a1???a2x+b2y+c2=0有唯一解?R?a2?ax+by+c=0?33?3?a3??,?线性无关;?,?,?线性相关.?a1x?b1y?c1?0?10、评分细则：由题设得出?a2x?b2y?c2?0有唯一解(2
?ax?by?c?033?3?a1??R?a2?a?3b1??a1??b2??R?a2?ab3???3b1b2b3?c1???c2??2?c3??b1??a1??b2??R?a2??b3??a3b1?c1??b2?c2??2?b3?c3?
?R??,???R??,?,????2?R??,???R??,?,???2分)(2
分)?R?????R???????2?R?????R??????2(4分)??,?线
性无关,?,?,?线性相关(2分).
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1、试题序号：353 2、题型：综合题 3、难度级别：4
4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10
6、所需时间：12分钟
7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容： 设矩阵A???1,?2,?3,??4，其中?2,?3,?4线性无关，?1?2?2??3.向量
Ax??的通解. ????1??2??3?，求方程组
9、答案内容：
7
解：????1??2??3??4，且??1?2?3?x1???x?4??2???.?x3????x4??x1??1?????x?1??2????为Ax??的一个解.?x3??1??????x4???1?又??2,?3,?4线性无关,且?1?2?2??3??1,?2,?3,?4线性相关,则有R??1?2?3?4??R?A??3,所以，Ax?0的基础解系只含一个非零解。?x1??x1??0???????xx2??1?2?????1?2?3?4?????2??4??????也是x3x30??????x?4??x4???1??1??0??1????????1??1???2??Ax?0的一个解.???可以作为Ax?0的一个基础解系.?1??0??1???????10、评分细??1???1??0??1??1??????1?2?通解为???c??,c为任意常数。?1??1???????1??0?则：由题设推出Ax?0的基础解系含一个解向量(2分);求出Ax??的两个解(2分);此两解相减所得向量为Ax?0的一个非零解(2分); 说明这非零解可以作为Ax?0的一个基础解系(2分);得出Ax??的通解(2分).
_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：354 2、题型：综合题 3、难度级别：5
4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10
6、所需时间：15分钟
8
7、试题关键字：矩阵的秩的性质与方程组的解 8、试题内容：
设n阶矩阵A,B满足R?A??R?B??n,证明A与B有公共的特征值，有公共的特征向量. 9、答案内容：
证明:?A??R???R?ATBT??R?AT??R?BT??R?A??R?B??n.?B? ?A??0????x???有非零解,设此非零解为??0.?B??0??A??0?A??0?则有???.B??0B??0???则有?是A与B的公共特征向量,0是A与B的公共特征值.
10、评分细则：R??A?T??R?A?B?BT??R?AT??R?BT??R?A??R?B??n(4分),所以
?A??0??A??0(2分).所以,?是A与B??x???有非零解(2分);设??0是此方程组的解,则有?B0B??0?????的公共特征向量,0是A与B的公共特征值(2分).
_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：355 2、题型：综合题 3、难度级别：2
4、知识点：第二章 矩阵及其运算 5、分值：10 6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：可逆矩阵的高次幂的运算 8、试题内容：
?0?10???0?，B?P?1AP，其中P为一个三阶可逆矩阵，试求出B2008?2A2. 设A??10?00?1???9、答案内容：
9
?0?10??0?10???1?????解：A2??100??100???0?00?1??00?1??0???????100???100??12???????A2???0?10??0?10???0?001??001??0?????00???10?.01??00??10??E. 01???B?P?1AP?B2008?P?1A2008P?P?1E502P?P?1P?E.?100???200??300???????B2008?2A2??010???0?20???030?.?001??00?2??00?1???????10、评分细则：计算出分);B?PAP?B?12008A??E(2
2分);计算出
?A?22?E(2
?P?1A2008P?P?1E502P?E(4分);计算出B2008?2A2(2分).
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1、试题序号：356 2、题型：综合题 3、难度级别：5
4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10
6、所需时间：15分钟
7、试题关键字：矩阵的伴随矩阵与方程组的解 8、试题内容：
设n阶矩阵A的行列式A?0，且有某个代数余子式Aij?0证明：齐次线性方程组Ax?0的通解为k?Ai1,Ai2,?,Ain?，k为任意常数. 9、答案内容：
T 10