证明:?A?0?R?A??n,且AA*?AE?0.则有R?A??R?A*??n.又?存在某个Aij?0,则A*?0?R?A??n?1.若R?A??n?1?A*?0矛盾.?R?A??n?1.则Ax?0的基础解系只含一个非零解.又AA*?0?A??1?2??i??n???00?0??Ai1??A?1?0?????Ai2????????A?i?0,?i????0.?Aij??????????A?n?0?A???in??Ai1????????Aij?为Ax?0的一个非零解,所以??????A??in??Ai1??????Ax?0的通解为K?Aij?,K为任意常数.??????A??in?
10、评分细则：由题设中条件推出R?A??n?1?Ax?0的基础解系只含一个解向量(4分);
?Ai1??????推出?Aij?为Ax?0的一个非零解并说明它可以作为Ax?0的一个基础解系(4分);因而得
??????A??in?出Ax?0的通解(2分).
_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：357 2、题型：综合题 3、难度级别：4
4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10
6、所需时间：12分钟
11
7、试题关键字：初等矩阵与初等变换 8、试题内容：
A一定可以表示成一个m维非零列向量与一个n维若A为一m?n矩阵且R?A??1，证明：
非零行向量的乘积.
9、答案内容：
证明?R?A??1,?A一定可以经过若干初等变换化为标准形?10?0???00?0?.F=??????????00?0?mxn即PAQ?F.P,Q均可逆.?1????1?1?1?0??A?PFQ?P10?0?Q?1.???????0??1???0则P?1???0且为一个m维列向量.??????0??10?0?Q?1?0且为一个n维行向量.?A可以表示成一个非零列向量与一个非零行向量的乘积.
?1?010、评分细则：由题设A经初等变换可化为标准形F???0??00000????0??0?(2分);即0??0?m?n?1???0PAQ?F,P,Q可逆(2分); 则P?1???0是一个m维列向量(2分); 则
??????0??10?0?Q?1是一个n维行向量(2分);所以可以表示成一个非零列向量与非零行向量
的乘积(2分).
_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：358 2、题型：综合题
12
3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算 5、分值：10 6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：逆矩阵的运算 8、试题内容：
?a?a?1??设A??????，其中a??1,?，E为同阶的单位矩阵，且
n?a?a???n?nB??E??A?9、答案内容：
?1E??.试求A?E?B?.
?1解:B?E??E?A??E?A??E?1?1??E?A??E?A???E?A??E?A??1??E?A??E?A?E?A??1?2?E?A?E?1?2?E?A?.?1?1
1?E?A?.2a?1?a?1?a1?a?1??B?E???2???a?a??B?E??
?a???a?且可逆?????1?a??1?1?110、评分细则：将B?E写成?A?E?分)?B?E??E?A???A?E??A?E?(4分)?2?A?E?(2
1?A?E?(2分),写出B?E的具体表示(2分). 2_____________________________________________________________________________
1、试题序号：359 2、题型：综合题 3、难度级别：3
4、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 5、分值：10 6、所需时间：8分钟
13
7、试题关键字：矩阵及其伴随矩阵的秩 8、试题内容：
**
设A为一个n阶方阵?n?2?，A为其伴随矩阵，证明：当R?A??n，有RA?n；当
??R?A??n?1，有R?A*??1；当R?A??n?2，有R?A*??0.
9、答案内容：
证明当R?A??n?A可逆?A??AA?1?A?可逆?R?A???n.当R?A??n?1?A?0且AA??AE?0?R?A??R?A???n.?R?A???1.当R?A??n?2,由伴随矩阵的定义，则有A??0?R?A???010、评分细则：由伴随矩阵与矩阵的关系得出当A可逆,A也可逆(3分);由伴随矩阵的定义,
*当R?A??n?1,用反证法得出RA?1(4分);当R?A??n?2时,由伴随矩阵的定义有
?R?A???1.若R?A???0?A??0与R?A??n?1矛盾。*
??A*?0(3分).
_____________________________________________________________________________ 1、试题序号：360 2、题型：综合题 3、难度级别：4
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型 5、分值：10
6、所需时间：10分钟 7、试题关键字：方阵的特征值 8、试题内容：
设??0是m阶矩阵Am?nBn?m的特征值，证明?也是n阶矩阵Bn?mAm?n的特征值. 9、答案内容：
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证明???0是AmxnBnxm的特征值，则有?AB?x??x,x?0.即A?Bx???x,x?0.?BA?Bx?=?Bx成立，且x?0.
即?BA??Bx????Bx?,x?0.假设Bx?0，则有A?Bx???AB?x?0.而?AB?x??x且??0,x?0.那么0=?x出现矛盾，?Bx?0,当x?0.则?BA??Bx????Bx?,Bx?0.??也是BA的特征值.10、评分细则：由题设得出BA?Bx????Bx?,x?0(2
分);假设
Bx?0?A?Bx???AB?x?0,而?AB?x??x,??0与?x?0矛盾(2分);所以当
x?0?Bx?0(2分),则?BA??Bx????Bx?,Bx?0(2分);所以?也是BA的特征值(2分)
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