∵在△EAF和△GDF中，，∴△EAF≌△GDF（SAS）。
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA。 ∴∠GFE=90°。∴GF⊥EF。
（2）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案。 44.【解析】
试题分析：（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等。 （2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解。 45.【解析】
试题分析：（1）方案一：分割成两个等腰梯形；
方案二：分割成一个等边三角形、一个等腰三角形和一个直角三角形。
（2）利用平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理作答，认真计算即可。 对于AC，如图②所示，
。
46.【解析】（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形即可。
（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在
上任意一点构成的四边形
ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形。
（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数。
47.【解析】（1）过点E作ED1⊥BC于D1，ED2⊥AB于D2，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，由角平分线上的点到角的两边距离相等，可得ED1= ED2，FG1= FG2。在△FED2和△FEG2中应用三角形中位线定理，可得
，
。在梯形EFG1D1中，由公式可证
得结论。
（2）同（1）过点E作ED1⊥BC于D1，ED2⊥AB于D2，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，由角平分线上的点到角的两边距离相等，可得ED1= ED2，FG1= FG2。在△FED2、△FEG2和梯形EFG1D1中，由公式可求得结论。
48.【解析】
试题分析：（1）由正方形的性质可以得出AB=BC，∠ABP=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性质就可以得出结论。
（2）由正方形的性质可以得出AB=BC，∠FBC=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性质就可以得出结论。
（3）设BP=x，则PC=3﹣x 平行四边形PEFC的面积为S，由平行四边形的面积公式就可以求出其解析式，再根据二次函数的性质就可以求出其最大值。
49.【解析】（1）由勾股定理，求出MN的长，点Q运动到AE上时的距离MN的长，离从而除以速度即得t的值。
（2）分0＜t≤10和10＜t≤16两种情况讨论，每种情况分AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ三种情况讨论。
（3）当0＜t≤7时，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△QNE的面积， 由（2）①，EN=t，
，∴
。
当7＜t≤10时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形QIFE的面积，它等于△NQE的面积减去△NIF的面积。
由（2）①，EN=t，，∴。
过点I 作IJ⊥BC于点J， ∵EF=7，EN=t，∴。 由△FJI∽△FBA得由△INJ∽△MNG得二式相加，得∴当10＜t≤
，即，即。∴
。
时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形GIFM的面积，它等于
。
。
△GMN的面积减去△INF的面积。 过点I 作IH⊥BC于点H，
∵EF=7，EN=t，∴由△FHG∽△FBA得由△INH∽△MNG得二式相加，得∴当
。 ，即，即。∴
。
。
。
。
＜t≤16时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△IFM的面积。
∵
（同上可得），
∴
。
，
综上所述，。