（4）要使
x?11?3?x?1?0有意义，必须? 3?x?1??x?0
解得x??1，3?x??1，即x?1
?当x??1，且x?1时，
x?11?3?x有意义。
（5）要使x??x?0 2x?1有意义，必须使??2x?1?0
解得x?0且x? ?当x?12，取公共区间
12时，式子x?2x?1在实数范围内有意义。
（6）要使
x2?4?x2?4?0?有意义，必须?
x?5??x?5?0
?x??2或x?2 解得?
x??5? ?当x??2且x??5或x?2且x?5时式子
x2?4x?5有意义。
例2：把下列各根式化为最简二次根式：
（1）96a3b?a?0，b?0?
（2）2（3）47504
25a2b3121c?a?0，b?0?
分析：依据最简二次根式的概念进行化简， （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 解：（1）96ab?316a226ab?4a6aba?0，b?0
??（2）2
47502?314750??249?325?22??755ab11c232?753?22?2?7106
（3）
25ab121c425ab2b121c4b?a?0，b?0? 例3：判断下列各组根式是否是同类根式：
（1）?175；?3
1516；nm23，85mn34，nm?mn?2
（2）当m?n?0时， 分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。
解：（1）??175??25?7??57；
?323151634???2363164???9?716232??34?737；785343151649?74??175，?3，385是同类二次根式341m1n（2）?当m?n?0时，nmmnnm???mnmnmn2??1m1nmn??mn??mn??m?0?mn??n?0??(n?m)22mnm2n2mn?mn?0，n?m?0mn2?2??n2?m2?2mnmnn?mmnmn?n?mmn
??
?
nm，mn，nm?mn?2是同类根式例4：把下列各式的分母有理化：
（1）1232；（2）523?2；（3）1?a?1?a1?a?1?a?0?a?1?
分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果
它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如2与2，
5?3与5?3均为有理化因式。
解：
（1）
1232?5123?22?2??146（2）523?2???23?2?23?223?2???215?1010
（3）1?a?1?a1?a?1?a???1?a?1?a?21?a?1?a??1?a?1?a?
?2?21?a21?a?1?a?1?1?a2a
例5：计算：
?1（1）?18?4?2?
?3??33?2?1
1??1（2）15?????23?（3）335?2?253?1?2126?2 分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特
别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。
解： （1）原式?（32?22?3?2）?33
??33?3
?3?2?（2）原式?15????15??223??15?
3?263?263?2?310???
?3?2??3?2?330?65（3）原式?33?5?23??25?3?12??43?6?24??15?6?15?5?32?6?5?32 小结：注意运算顺序如（2）切不可，作成15?12?15?13，要先作括号内的
加法，又考虑到除法又要颠倒相乘，因此也没有必要先分母有理化，又如（3）中各项的符号问题不能出错，所有这些地方都注意到了，才能得出正确结果。 例6：化简：
（1）
a?4ba?2b2a?a2?a?4ab?4b?a?42a2??a?42a2
（2）
?2??2分析：应注意（1）式a?0，b?0，（2）a?0，所以a???a2，b???b，a?4b2可看作
?a?2?4?b?2可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。
?解：（1）原式???（2）原式??1a1a?2b??a?2ba?2b???2a?2b?2
?a?2b?1a?2b2a?2a?121???a?2ba?2ba?4b?2a?2a?a2?4a?42a|a?2|2a??a2?4a?42a2a|a?2|a22a2a?原题只保证a?0，因此要分类讨论a?2时，及0?a?2时当a?2时，原式??1a22a?2?a?a?2?a?2?2a?12a?a?22a?2a?a?22a2a2?a2a2a2a3a?22a当0?a?2时，
原式??1a22a2?a?a?2?2?a2a2a?12a?a?22a?2a?2aa?62a2a
例7：化简：
（1）?st3?s?0?（2）6?2?
??6?3?2（3）?3?m?2?m?2?2(m?3)?1?x2?10x?25???x?5??2?2
（4）|6?x|?4x2?4x?1?（5）a?2b2a?2b?
分析：依据公式a3?a?2b??2b?a2?a(a?0)?|a|??来化简。
??a(a?0) 解：（1）??st?0
?st3?0，而s?0
?t3?0，即t?0
原式?（2）?2??st2t2?|t|?st??t?st??t?0?6?3?6?2?0，而6?3?0
原式???6?2?6?2??6?36?3
????6?2?6?3?26?5