（Ⅱ）求出直线l的方程，使得
QBQA2为常数．
21．（本题15分）已知a是实数，函数f(x)?（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
x(x?a)．
（Ⅱ）设g(a)为f(x)在区间[0，2]上的最小值． （ⅰ）写出g(a)的表达式；
（ⅱ）求a的取值范围，使得?6≤g(a)≤?2．
22．（本题14分）已知数列?an?，an≥0，a1?0，an?12?an?1?1?an2(n?N*)． 记：Sn?a1?a2???an，Tn?11?a1?1(1?a1)(1?a2)???1(1?a1)(1?a2)?(1?an)．
求证：当n?N*时， （Ⅰ）an?an?1； （Ⅱ）Sn?n?2； （Ⅲ）Tn?3
2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数 学（理科）参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分 1．A 2．D 3．D 4．A 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 10．B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． 11．1?2 12．8 13．
33 14．
9π2 15．1 16．40 17．1
三、解答题
18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一：
（Ⅰ）证明：过点E作EG?CF交CF于G，连结DG， 可得四边形BCGE为矩形，
A 26
D C G E
F
B H
又ABCD为矩形，
∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形， 所以AD 故AE∥DG．
因为AE?平面DCF，DG?平面DCF，
所以AE∥平面DCF．
（Ⅱ）解：过点B作BH?EF交FE的延长线于H，连结AH． 由平面ABCD?平面BEFC，AB?BC，得 AB?平面BEFC， 从而AH?EF．
所以?AHB为二面角A?EF?C的平面角． 在Rt△EFG中，因为EG?AD?又因为CE?EF，所以CF?4， 从而BE?CG?3． 于是BH?BE?sin?BEH?3323，EF?2，所以?CFE?60?，FG?1．
z D A ．
x B E C F y 因为AB?BH?tan?AHB，
9所以当AB为时，二面角A?EF?C的大小为60?．
2方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C?xyz． 设AB?a，BE?b，CF?c，
则C(0，0a)，B(3，0，0)，E(3，b，0)，F(0，c，0，0)，A(3，，0)．
????????????（Ⅰ）证明：AE?(0，b，?a)，CB?(3，0，0)，BE?(0，b，0)，
????????????????所以CB?CE?0，CB?BE?0，从而CB?AE，CB?BE，
所以CB?平面ABE． 因为CB?平面DCF， 所以平面ABE∥平面DCF． 故AE∥平面DCF．
????????（Ⅱ）解：因为EF?(?3，c?b，0)，CE?(3，b，0)，
????????????EF?CE?0|EF|?2，从而 所以，
???3?b(c?b)?0， ?23?(c?b)?2，??解得b?3，c?4．
27
所以E(3，3，0)，F(0，4，0)． 设n?(1，y，z)与平面AEF垂直， ????????则n?AE?0，n?EF?0，
33a解得n?(1，3，)．
????又因为BA?平面BEFC，BA?(0，0，a)， ????????|BA?n|33a1?所以|cos?n，BA?|??????，
2|BA|?|n|a4a2?27得到a?92． 9所以当AB为
219．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期
时，二面角A?EF?C的大小为60?．
望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)?1?得到x?5． 故白球有5个．
（ii）随机变量?的取值为0，1，2，3，分布列是
? P C10?xC2102?79，
0 1121 5122 5123 112 ?的数学期望
E??112?0?512?1?512?2?112?3?32．
25n，
（Ⅱ）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得y?所以2y?n，2y≤n?1，故
yn?1≤12．
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则
P(B)?25?35?yn?1
28
≤25?35?12?710．
25n，红球的个数少于
n5所以白球的个数比黑球多，白球个数多于故袋中红球个数最少．
．
20．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分． （Ⅰ）解：设N(x，y)为C上的点，则
?122|NP|??x????????y?3???，
28?N到直线y??558的距离为y?8．
22由题设得?x?1?3?5???2???y????y?8．
?8?化简，得曲线C的方程为y?122(x?x)．
（Ⅱ）解法一：
设M??x，x2?x??，直线l:y?kx?k，则
?2?B(x，kx?k)，从而|QB|?1?k2|x?1|．
在Rt△QMA中，因为
|QM|2?(x?1)2??1?x2??4?，
?(x?1)2??k?x?2|MA|2??2??1?k2． 所以|QA|2?|QM|2?|MA|2?(x?1)224(1?k2)(kx?2) .
|QA|?|x?1|?|kx?2|，
21?k229
y M l B A Q O x
|QB|2|QA|?2(1?k)1?k|k|22?x?1x?2k．
当k?2时，
|QB|2|QA|?55，
从而所求直线l方程为2x?y?2?0．
?x2?x?解法二：设M?x，?，直线l:y?kx?k，则B(x，kx?k)，从而
2??|QB|?1?k|x?1|．
1k(x?1)．
2过Q(?1，0)垂直于l的直线l1:y??因为|QA|?|MH|，所以|QA|?|x?1|?|kx?2|21?k2，
l1 H y M A B l x |QB|2|QA|?2(1?k)1?k|k|22?x?1x?2kQ O ．
当k?2时，
|QB|2|QA|?55，
从而所求直线l方程为2x?y?2?0．
21．本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分． （Ⅰ）解：函数的定义域为[0，??)，
x?a2x3x?a2xf?(x)?x??（x?0）．
若a≤0，则f?(x)?0，
f(x)有单调递增区间[0，??)．
若a?0，令f?(x)?0，得x?当0?x?a3a3，
时，f?(x)?0，
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