当x?a3时，f?(x)?0．
?a??a????． f(x)有单调递减区间?0，?，单调递增区间?，?3??3?（Ⅱ）解：（i）若a≤0，f(x)在[0，2]上单调递增， 所以g(a)?f(0)?0．
?a??a?若0?a?6，f(x)在0，上单调递减，在?，2?上单调递增， ?3????3?所以g(a)?f?2a?a????3?3?a3．
若a≥6，f(x)在[0，2]上单调递减， 所以g(a)?f(2)?2(2?a)．
a≤0，?0，??2aa综上所述，g(a)??? ，0?a?6，3?3?2(2?a)，a≥6．?（ii）令?6≤g(a)≤?2． 若a≤0，无解．
若0?a?6，解得3≤a?6． 若a≥6，解得6≤a≤2?32． 故a的取值范围为3≤a≤2?32．
22．本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．满分14分． （Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
2①当n?1时，因为a2是方程x?x?1?0的正根，所以a1?a2．
*②假设当n?k(k?N)时，ak?ak?1，
2222因为ak?1?ak?(ak?2?ak?2?1)?(ak?1?ak?1?1)
) ?(ak?2?ak?1)(ak?2?ak?1?1，
所以ak?1?ak?2．
31
即当n?k?1时，an?an?1也成立．
根据①和②，可知an?an?1对任何n?N*都成立．
2?，n?1（n≥2）（Ⅱ）证明：由ak?12?ak?1?1?ak2，k?1，，，
22得an?(a2?a3???an)?(n?1)?a1．
2因为a1?0，所以Sn?n?1?an．
22由an?an?1及an?1?1?an?2an?1?1得an?1，
所以Sn?n?2．
（Ⅲ）证明：由ak?12?ak?1?1?ak2≥2ak，得
11?ak?1ak?12ak(k?2，3，?，n?1，n≥3)
≤所以
1(1?a3)(1?a4)?(1?an)1(1?a2)(1?a3)?(1?an)12≤an2n?2a2(a≥3)，
于是≤an2n?2(a?a2)?3，
22?an2n?2?12n?2(n≥3)，
故当n≥3时，Tn?1?1?又因为T1?T2?T3， 所以Tn?3．
???12n?22009年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式： 如果事件A,B互斥，那么 棱柱的体积公式 32
如果事件A,B相互独立，那么 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱
柱的高P(A?B)?P(A)?P(B) 棱锥的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V?13ShP(A?B)?P(A)?P(B) V?Sh n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高 kkn?kPn(k)?Cnp(1?p),(k?0,1,2,?,n) 棱台的体积公式 球的表面积公式 V2?13h(S1?S1S2?S2) S?4?R 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积， 球的体积公式 h表示棱台的高 V?433?R 其中R表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1．设U?R，A?{x|x?0}，B?{x|x?1}，则A?eUB?( ) A．{x|0?x?1} B．{x|0?x?1} C．{x|x?0} D．{x|x?1} B 【解析】 对于CUB??xx?1?，因此A?eUB?{x|0?x?1}．
2．已知a,b是实数，则“a?0且b?0”是“a?b?0且ab?0”的( )网 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 C 【解析】对于“a?0且b?0”可以推出“a?b?0且ab?0”，反之也是成立的 3．设z?1?i（i是虚数单位），则
2zA．?1?i B．?1?i C．1?i D． 1?i科 2222?(1?i)?1?i?2i?1?i D 【解析】对于?z?z1?i24．在二项式(x??z?( ) 21x)的展开式中，含x的项的系数是学( ) 54A．?10 B．10 C．?5 D．5 B 【解析】对于Tr?1?C5(x)22项的系数是C5(?1)?10
r25?r(?1x)???1?C5xrrr10?3r，对于10?3r?4,?r?2，则x的
45．在三棱柱ABC?A1B1C1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( ) A．30 B．45 学网C．60 D．90 ?AE?DE，C 【解析】取BC的中点E，则AE?面BB1C1C，
????因此AD与平面BB1C1C所成角即为?ADE，设AB?a，则
AE?32DE?a，
a2，即有tan?ADE?3,??ADE?60． 06．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7 33
A 【解析】对于k?0,s?1,?k?1，而对于k?1,s?3,?k?2，则k?2,s?3?8,?k?3，
后面是k?3,s?3?8?211,?k?4，不符合条件时输出的k?4．
7．设向量a，b满足：|a|?3，|b|?4，a?b?0．以a，b，a?b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( ) A．3 B．4 C．5 D．6
C 【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现． 8．已知a是实数，则函数f(x)?1?asinax的图象不可能是( ) ．．．
D 【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为T?合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2?． 9．过双曲线
xa222?a,?a?1,?T?2?，而D不符
?yb22?1(a?0,b?0)的右顶点A作斜率为?1的直线，该直线与双曲线的
????1????两条渐近线的交点分别为B,C．若AB?BC，则双曲线的离心率是( )
2A．2 B．3 C．5 D．10 C 【解析】对于A?a,0?，则直线方程为x?y?a?0，直线与两渐近线的交点为B，C，
2?a2ab?aabB?,,C(,?)?a?ba?ba?ba?b??22?????????2ab2abababBC?(2,?),AB??,?222a?ba?b?a?ba?b，则有
?????????222AB?BC,?4a?b,?e??，因?5．
?x1,x2?R且x2?x1，10．对于正实数?，记M?为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：
有
??(x2?x1)?f(x2)?f(x1)??(x2?x1)．下列结论中正确的是( )
A．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，则f(x)?g(x)?M?1??2 B．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，且g(x)?0，则
f(x)g(x)?M?1?2
C．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，则f(x)?g(x)?M?1??2
D．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，且?1??2，则f(x)?g(x)?M?1??2 C 【解析】对于??(x2?x1)?f(x2)?f(x1)??(x2?x1)，即有???34
f(x2)?f(x1)x2?x1??，
令
f(x2)?f(x1)x2?x1?k，有???k??，不妨设f(x)?M?1，g(x)?M?2，即有
??1?kf??1,??2?kg??2，因此有??1??2?kf?kg???1?，因此有
f(x)?g(x)?M?1??2．
非选择题部分（共100分）
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
111．设等比数列{an}的公比q?，前n项和为Sn，则
2S4a4? ．
15【解析】对于s4?a1(1?q)1?q4,a4?a1q,?3s4a4?1?q34q(1?q)?15
12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm3．
18 【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1?3?3?9，上面的长方体体积为3?3?1?9，因此其几何体的体积为18
?x?y?2,?13．若实数x,y满足不等式组?2x?y?4,则2x?3y的最小值
?x?y?0,?是 ．
24 【解析】通过画出其线性规划，可知直线y??x?Z过点?2,0?时，?2x?3y?min?4
314．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如 下：
高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 高峰电价 低谷月用电量 低谷电价 （单位：千瓦时） （单位：元/千瓦（单位：千瓦时） （单位：元/千瓦时） 时） 50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.598 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，
则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）．
148.4【解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为50?0.568?150?0.598；对于低峰部分为50?0.288?50?0.318，二部分之和为148.4 15．观察下列等式：
153 C5?C5?2?2，
C9?C9?C9?2?2， C13?C13?C13?C13?2159131115973?2，
35
5