初三（上）数学备课
课题 二次函数的概念 课型 新授 教学1．使学生理解二次函数的概念． 目标 2．使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围． 3．为分散后面教学的难点，可在本节解决较简单的用待定系数法确定二次函数解析式的问题． 重点和难重点：对二次函数概念的理解． 点 教具准备 投影片 师 生 活 动 过 程 一、情景创设 1．什么叫函数？它有几种表示方法？ 备注 难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围． 2．什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？ 为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？(复习这些问题是 为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强 调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．) 二、实践与探索 函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系． 例1 正方形的边长是x，面积y与边长x之间的函数关系如何表示？ 解：函数关系式是y=x2(x＞0)(写在黑板上) 例2 农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？ 解：函数关系式是y=50(1＋x)2，即y=50x2+100x+50(写在黑板上) 由以上两例，启发学生归纳出(1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)．(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)． 三、讲解新课 初三（上）数学备课
二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数． 巩固对二次函数概念的理解： 1．强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式． 2．在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0． 3．在y=50x2＋100x＋50中， a=50， b=100， c=50． 4．为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了) 5．b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零． 若b=0，则y=ax2＋c；若c=0，则y=ax2＋bx；若b=c=0，则y=ax2． 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式． 四、巩固新课 例1 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，指出a、b、c． (1)y=1-3x2；(2)y=x(x-5)； (3)y=3x(2-x)＋3x2； (4)y＝(x＋2)(2-x)； (5)y=x4＋2x2＋1．(可指出y是关于x2的二次函数) 例2．m取哪些值时，函数y?(m2?m)x2?mx?(m?1)是以x为自变量的二次函数？ 分析 若函数y?(m2?m)x2?mx?(m?1)是二次函数，须满足的条件是：m2?m?0． 解 若函数y?(m2?m)x2?mx?(m?1)是二次函数，则 m2?m?0．解得 m?0，且m?1．因此，当m?0，且m?1时，函数y?(m2?m)x2?mx?(m?1)是二次函数． 回顾与反思 形如y?ax2?bx?c的函数只有在a?0的条件下才是二次函数． 探索 若函数y?(m2?m)x2?mx?(m?1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？ 初三（上）数学备课
延伸：已知函数y?(m?3)xm 例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系； （3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系； （4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系． 例4． 篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 例5． 已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式． 五、布置作业 1．在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围． 2．已知二次函数y=4x2＋5x＋1，求当y=0时的x的值． 3．已知二次函数y=x2-kx-15，当x=5时，y=0，求k． 4．已知二次函数y=ax2＋bx＋c中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a、b、c的值 5. 当k为何值时，函数y?(k?1)xk22?7是二次函数，求m的值． ?k?1为二次函数？ 初三（上）数学备课
课题 二次函数的图象与性质（1）——二次函数y=ax2的图象 教学目标 重点和难点 教具准备 投影片 师 生 活 动 过 程 一 、情境导入 我们已经知道，一次函数y?2x?1，反比例函数y? 备注 重点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象，掌握它的性质． 难点：渗透数形结合思想． 1．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象． 2．使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识． 3．进行由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育． 课型 新授 3的图象分别 x 2是 、 ，那么二次函数y?x的图象是什么呢？ （1）描点法画函数y?x2的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数 为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？ （2）观察函数y?x2的图象，你能得出什么结论？ 二、新课 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （1）y?2x2 共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点． 不同点：y?2x2的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升． （2）y??2x2 初三（上）数学备课
y??2x2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 回顾与反思 ：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2． 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得S?列表： C S?12C 1612C(C?0)． 162 1 44 1 6 9 48 4 ? ? 描点、连线，图象如图26．2．2． （2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm． （3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2． 回顾与反思 （1）此图象原点处为空心点． （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 补充例题 1．已知点M(k，2)在抛物线y=x2上， (1)求k的值． (2)点N(k，4)在抛物线y=x2上吗？ (3)点H(-k，2)在抛物线y=x2上吗？ 2．已知点A(3，a)在抛物线y=x2上， (1)求a的值． (2)点B(3，-a)在抛物线y=x2上吗？