密 级 公 开
本科生毕业（学位）论文
有关实数完备性基本定理的循环证明
指导教师姓名： 职 称： 副教授 单 位： 数学系
专 业 名 称： 数学与应用数学 论文提交日期： 2010年 月 日 论文答辩日期： 2010年 月 日 学位授予单位： 黔南民族师范学院
答辩委员会主席: 论 文 评 阅 人:
2010 年 月
日
有关实数完备性基本定理的循环证明
蒋长征 (2006051135)
(黔南民族师范学院数学系 贵州.都匀 558000)
摘要：本文阐述了实数集上六个基本定理及其相关内容，并在用十进位小数定义证明确界原理的基础上通过六
个循环从不同的角度证明了它们的等价性。
关键词：实数集；完备性；确界原理；单调有界定理；区间套定理；有限覆盖定理；聚点定理；Cauchy收
敛准则
The Circulating Testification on the Basic Axioms of Real Number
Completeness
Jiang Chang-zheng (2006051135)
(Department of Math ,Qiannan Normal College for Nationalities,Duyun,Guizhou,55800)
Abstract : This paper elaborates six fundamental theorems on a set of real numbers and its related content.Based on the
result which use decimal number definitions to prove sector principle this paper prove their equivalent from different angle.
Key words: Real Number Collection; Completeness; True Principle; Has the theorem monotonously; Nested interval
theorem; Finite covering theorem; Limiting point theorem; Cauchy Restraining criterion
1 实数完备性基本定理及其有关内容
1.1 有关概念 定义
我们知道，极限的存在性问题是极限理论的首要问题。一个数列是否存在极限不仅与数列本身的的结构有关，而且与所在数集密切相关。从运算的角度来说，实数集关于极限的运算是封闭的，它反映了实数集的完备性，这是实数集的优点。因此将极限理论建立在实数集之上，极限理论就有了坚实的基础。
我们常常从实数系的连续性（即实数集无间隙）出发证明实数系的完备性（即能使确界原理成立的有序域），也可从实数系的完备性出发证明实数系的连续性，所以这两个关系是等价的。因此，我们也称实数连续性为实数的完备性。下面我们就来阐述实数完备性基本定理及其有关内容，为后面的证明做铺垫。
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定义1 设x?a0.a1?an?为非负实数，称有理数
xn?a0.a1?an
为实数x的n位不足近似，而有理数
xn?xn?1 10n称为实数x的n位过剩近似，n?0,1,2,?。
定义2 设S为R中的一个数集。若存在一个数M?L?，使得对一切x?S，都有。 x?M?x?L?，则称S为有上（下）界的数集，数M?L?称为S的一个上界（下界）
定义3 设S为R中的一个数集。若数?满足： (i) 对一切x?S，有x??，即?是S的上界；
(ii) 对任意数?，存在x0?S，使得x0????，即?又是S的最小上界， 则称?为数集S的上确界，记作：
??supS
定义4 设S为R中的一个数集。若数?满足： (i) 对一切x?S，有x??，即?是S的下界；
(ii) 对任意数?，存在x0?S，使得x0????，即?又是S的最大下界， 则称?为数集S的下确界，记作：
??infS
定义5 设闭区间列??an,bn??具有如下性质： (i) ?an,bn???an?1,bn?1?，n?1,2,?； (ii) lim?bn?an??0
n??则称??an,bn??为闭区间套，或简称区间套。
定义6 设S为数轴上的点集，?为定点（它可以属于S，也可以不属于S），若?的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称?为点集S的一个聚点。
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定义6' 对于点集S，点?的任何?邻域内都含有S中异于?的点，即
Uo??,???S??，则称?为点集S的一个聚点。
定义6'' 若存在各项互异的收敛数列?xn??S，则其极限limxn??称为点集S的一
n??个聚点。
注：这三个定义是等价的。
定义7 设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如。若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个??,??的开区间）
开覆盖，或称H覆盖S。若H中开区间的个数是无限（有限）的，则称H为S的一个无限（有限）开覆盖。
定义8 一个数列?xn?被称为Cauchy列，如果对任给的??0，存在正整数N，使得当m,n?N时有an?bn??。
1.2 实数完备性六个基本定理
定理1 （确界原理）设S为非空数集，若S有上（下）界，则S必有上（下）确界。 定理2（单调有界定理）在实数系，有界的单调数列必有极限。
定理3（区间套定理）若??an,bn??是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点?使得?属于??an,bn?? n?1,2,?即an?bn。
推论 若???an,bn? （n?1,2,?）是区间套??an,bn??所确定的点，则对任给的??0，存在N?N?，使得对一切n?N时有
??n,?n??U??;??。
定理4（有限覆盖定理）设H为闭区间?an,bn?的一个开覆盖，则从H中可选取有限个开区间来覆盖?an,bn?。
定理5（聚点定理）实数系中任一有界无限点集S至少有一个聚点。 推论 有界数列必有收敛子列。
定理6（Cauchy收敛准则）数列?an?收敛的充要条件是：数列?an?是Cauchy列。
2 基本定理的循环证明
以上六个定理，都是描述实数集的连续性（完备性）的定理，只不过表现形式不同
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而已。在这六个定理中有限覆盖定理着眼于区间整体，而其它五个则着眼于一点的局部，这些点分别是定理1中的确界点、定理2和定理6中的极限点、定理3中的公共点和定理
5中的聚点。从这个方面说定理4（有限覆盖定理）是其它五个定理的逆否形式。因此
不论是用定理4证明其它五个定理还是用其它五个定理证明定理4都可以用反证法来完成，其它五个定理可以直接互推，只要抓住上述提到的那些点即可，方法是从已知出发构造某一点，然后证明这个点就是所要求的点。
通过上述方法虽然可以证明这六个定理的等价性，但这并不意味着它们就是正确的，若其中有一个命题是假命题，则全为假命题。因此在证明它们的等价性时起点是极其重要的。在证明过程中不同的教材和参考书对起点问题的处理也不尽相同。有的直接把其中的一个当作公理，如刘玉琏等所编的《数学分析讲义》?1?就是把单调有界原理当作公理，并以此为起点证明这六个定理的等价性，很明显这样做是不够严密的。本文是基于华东师范大学数学系编著的《数学分析》??，即用十进位小数定义证明确界原理作
2为起点（具体过程见[2]，第7页），然后用循环证明的方法证明它们的等价性。
2.1 第一个循环
①?②?③?④?⑤?⑥?① 2.1.1 ①?② 参见[2]，35页 2.1.2 ②?③ 参见[2]，161页 2.1.3 ③?④ 参见[2]，165，166页 2.1.4 ④?⑤
证 设S为有界无穷点集，因此存在M?0，使得S???M,M?。
反正法：若S无聚点，即??M,M?中任何一点都不是S的聚点，则对于任意
x???M.M?，必有相应的?x?0，使得U?x;?x?内至多含有有限个x?S(若x?S，则U?x;?x?中不含S中的点)。所有这些邻域的全体形成??M,M?的一个无限开覆盖：
H???x??,x??xx?x???M,M??。
由定理4知，H中存在有限个开区间能覆盖??M,M?。记：
H???x??xk,x??xkx???M,M?,k?1,2,?,N?H
??为??M,M?的一个有限开覆盖，则H也覆盖了S。由于每个邻域中至多含有S有限个点，故这N个邻域的并集也至多有S得有限个点，因此S为有限点集，这与题设S为无穷点集矛盾。
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