在?x2,b?中取?a,b?中的一点记作x3，得到新的区间?x3,b?。 如此继续下去可以得到一无穷点列?x1,x2,?,xn,??记作： ?xn?，且?xn???a,b?。 下证数列?xn?为Cauchy列。 若?xn?从某一项开始恒为一个值，则必定满足Cauchy条件。 下设?xn?不是从某开始开始恒为一个值的数列，由取法可知，数列随着n的增大并趋近于无穷，对于任意的??0，从某项xk起之后各项（不只是相邻项）之间的差值都会小于?，即对于任意的??0，存在N?0(设为k)当m,n?N时有 xm?xn?? 所以数列?xn?为Cauchy列。 由此可知，无论何种情况，数列?xn?为Cauchy列，所以收敛。 从?xn?的选法知， 设 limxn?b， n??即对任意的??0，存在N?N?，使得当n?N时有 xn?b?? 也就是 b???xn?b?? 下设??b??，??b??， 则 ?xn,b????,???H 也就是说?a,b?可以由H中的有限个开区间来覆盖（至多N?1个）。
2.5.6 ④?①
证 设??S?R，对于任意的x?S，存在M，使得x?M，任给x0?S，考虑区
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间?x0,M?。假设S没有上确界，那么任意x??x0,M?对于
i）当x是S的上界时，必有更小的上界x1?x。因而x有开邻域?x，其中?x的每一点都是S的上界;
ii）当x不是S的上界时，有S中的点x2?x，于是有开邻域?x，其中?x的每一点都不是S的上界。
必居其一而且只能据其一。这些邻域H???xx??x0,M??将?x0,M?覆盖。 由定理4可得，存在H的有限个子开区间??1,?2,??n?将?x0,M?覆盖。
注意：M所在的开区间应为第一类的，相邻接的区域有公共点也应为第一类的，经过有限次邻接可知x0所在的邻域也是第一类的。这便得出矛盾，即假设不成立S有上确界。
2.6第六个循环
①?⑥?⑤?④?③?②?① 2.6.1 ①?⑥
证 必要性显然下证充分性
若由数列?an?为Cauchy列，即对任意??0，存在N?0，当m,n?N时，有
am?an??
则?an?收敛。
由2.1.5知，数列?an?为有界数列。 根据定理1令
yn?sup?ak?，zn?inf?ak?
k?nk?nZ?inf?yn?，z?sup?zn?
n?1n?1得
Z?z
,?N因由数列?an?为Cauchy列，即任给??0，存在N?0，当mn时，有am?an??，
则?an?收敛，故有
xn???xm?xn??
结合yn?sup?ak?，zn?inf?ak?
k?nk?n 21
可得
ym?zn??
依Z?inf?yn?，z?sup?zn?得
n?1n?1Z?yk?zn???z??
由?得任意性可得Z?z 故
Z?z
即
liman?liman?liman?z?Z
n??n??n??所以数列?an?收敛。 2.6.2 ⑥?⑤
证 设S为实数域上的有界无限点集，我们来证它有聚点。
不妨设S的一个上界M，一个下界为x1。在?x1,M?中取S中的一点记作x2，得到新的区间?x2,M?。
在?x2,M?中取S中的一点记作x3，得到新的区间?x3,M?。 如此继续下去可以得到一无穷点列?x1,x2,?,xn,??记作：?xn?
由?xn?的取法可知，总存在K?N?，当n?K，有
?xn??S。 下证数列?xn?是Cauchy列。 若?xn?从某一项开始恒为一个值，则必定满足Cauchy条件。下设?xn?不是从某开始开始恒为一个值的数列，由取法可知，数列随着n的增大并趋近于无穷，对于任意的??0，从某项xk起之后各项（不只是相邻项）之间的差值都会小于?，即对于任意的??0，存在N?0(设为k)当m,n?N时有 am?an?? 所以数列?xn?是Cauchy列。 22
由此可知，无论何种情况，点列?xn?都满足Cauchy条件，所以收敛， 设 limxn?A。 n??对于任意的??0，存在N1?N? ，当n?N?时有 xn?A?? 即?xn?有无穷多项都落在邻域Uo?A;??内，也就是说在邻域Uo?A;??内有S的无穷个点。有定义6知A为S的一个聚点。 2.6.3 ⑤?④ 见2.2.3 2.6.4 ④?③ 见2.4.4 2.6.5 ③?②
证 设?xn?为一递增且有上界M的数列．为此令?a1,b1???x1,M?。
将?a1,b1?二等分，若右半区间中含有S中的点，则令它为?a2,b2?，否则令左半区间为?a2,b2?，如此得到?a2,b2?且有
?a2,b2???a1,b1?，b2?a2?M?x1； 2如此无限进行下去，得到一闭区间列?an,bn?，其中
?an?1,bn?1???an,bn? n?1,2,?，bn?an?由区间套定义可知，??an,bn??构成一区间套。
M?x1?0 ?n???。 2n?1根据 ??an,bn??构造可知，每个?an,bn?都含有?xn?的项，且?an,bn?右边没有?xn?中的项。 根据定理3，存在唯一的实数????an,bn?．
n?1?下面用数列极限定义证明limxn??：
n??由定理3的推论可知，对任给的??0，存在N?N?，使得对一切n?N时有
?an,bn??U??;??。
由?xn?为递增且有上界的数列，且?an,bn?右边没有?xn?中的项，可知数列?xn?只有有限项落在U??;??之外。所以limxn??。
n?? 23
同理可证单调递减有下界的数列极限也存在。
2.6.6 ②?① 见2.2.6
3 总结
以上六个循用环虽说都是从确界原理开始，却从不同的角度证明了实属完备性六大基本定理的等价性和正确性，而且包含了从其中一个定理出发到其它五个定理的直接证明，摆脱了单一循环需要间接证明的缺点。
另外，通过本文可以使我们对实数集上这几个基本定理和极限理论为何建立在实数集上有了更深层次的理解。为我们能更好的学好《数学分析》和《实变函数》等课程奠定了基础。
参考文献：
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指导教师：?副教授
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