区间中含有?an?的点，则记此区间为?a1,b1?，?an?单调递增有上界数列可知，左半区间中至多含有由数列?an?的有限个点。如果右半区间中不含?an?的点，则记左半区间为
?a1,b1?，则b1?a1?M?a1。 2再将?a1,b1?二等分，如果右半区间中含有?an?的点，则记此区间为?a2,b2?，由数列
?an?单调递增有上界数列可知，左半区间中至多含有由数列?an?的有限个点。如果右半
区间中不含?an?的点，则记左半区间为?a2,b2?，则b2?a2?如此继续下去，则得到一闭区间列??an,bn??，且
bn?an?M?a1?0?n??? n2M?a1。 22则每个?an,bn?中都含有?an?的无限个点，即每个?an,bn?都是有界无限点集。 由聚点定理可知每个?an,bn?都有聚点。
由??an,bn??的性质可知，?an,bn?，n?1,2,?有唯一的公共聚点，设为?。 又
bn?an?M?a1?0?n???， n2所以对任意的??0，存在N?N?，当n?N时，有
?an,bn??U??;??
所以U??;??之外至多含有数列?an?的有限个点。所以数列?an?收敛于?。
2.4.3 ②?④
证 用反证法 假设不能用H中有限个开区间来覆盖?a,b?。
将?a,b?二等分，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为?a1,b1?(如果两个半区间都是如此，可任选其一)，则
?a1,b1???a,b?，且b1?a1?2?b?a?。
再将?a1,b1?二等分，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为?a2,b2?，则?a2,b2???a1,b1?，且b2?a2?
15
11?b?a?。 22
重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列??an,bn??，它满足 (i)?an,bn???an?1,bn?1?，n?1,2,?； (ii)bn?an?1?b?a??0?n???。 2n且??an,bn??中每个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。
由(i)可知：
a1?a2???bn???b2?b1
则数列?an?单调递增有上界，数列?bn?单调递减有下界。
由单调有界原理，数列?an?，?bn?都有极限。设liman??，limbn??'
n??n??则对任意的??0，存在N1,N2?N?， 当n?N1时，有
????an????；
当n?N2时，有
?'???bn??'??；
又由(ii)知
???'
所以对任意的??0，存在N?max?N1,N2?，当n?N时，有
?an,bn??????,????
故
????,?????H。
这表明当n充分大时，?an,bn?只须用H中一个开区间????,????就能覆盖，与构造?an,bn?时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾。从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖?a,b?。
2.4.4 ④?③ 参见[5]，56页 2.4.5 ③?⑥ 参见[2]，162页
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2.4.6 ⑥?① 见2.1.6 2.5第五个循环
①?⑤?③?②?⑥?④?① 2.5.1 ①?⑤ 见2.4.1 2.5.2 ⑤?③
证 由于??an,bn??，n?1,2,?构成一个区间套，于是有：
a1?a2???an???bn???b2?b1
且
lim?bn?an??0
n??所以数列?an?单调递增有上界，数列?bn?单调递减有下界。 故E??an???bn?为有界无限点集，由聚点定理可知
存在一点?为E??an???bn?的一个聚点，即对任意的??0，对于邻域U0??;??都含有
E??an???bn?中的无穷多个点。
由?an?，?bn?的性质可知它们都有无穷个点包含在U0??;??内，也就是说：
???an,bn? n?1,2,?
下证?的唯一性
设?'也满足上式，即
an??'?bn，n?1,2,?
所以有
???'?bn?an，n?1,2,?
又由定理3条件(ii)得
???'?lim?bn?an??0，n?1,2,?
n??故
?'??
所以?唯一。
2.5.3 ③?②
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证 设数列?an?单调递增有上界M，则?an???a1,M?。将?a1,M?二等分，如果右半区间中含有?an?的点，则记此区间为?a1,b1?，由数列?an?单调递增有上界数列可知，左半区间中至多含有由数列?an?的有限个点。如果右半区间中不含?an?的点，则记左半区间为?a1,b1?，则
b1?a1?M?a1。 2再将?a1,b1?二等分，如果右半区间中含有?an?的点，则记此区间为?a2,b2?，由数列
?an?单调递增有上界数列可知，左半区间中至多含有由数列?an?的有限个点。如果右半
区间中不含?an?的点，则记左半区间为?a2,b2?，则
b2?a2?M?a1。 22如此继续下去，则得到一闭区间列??an,bn??，且
bn?an?M?a1?0?n??? n2则每个?an,bn?外只含有?an?的有限个点，且??an,bn??构成区间套。 由定理3可知，存在唯一的点????an,bn?。
n?1?又由定理3的推论可知，对任意的??0，存在N?N?，当n?N时，有
?an,bn??U??;??
即U??;??外最多只有数列?an?有限项。故?an?收敛于?。 同理可证对于单调递减又下界的数列也收敛。
2.5.4 ②?⑥
证 必要性容易证明，下证充分性
由数列?an?为Cauchy列，即对任给的??0，存在N?N?，使得对一切n?N有
an?aN??
即在区间?aN??,aN???内含有?an?的几乎所有项(这里及以下，为叙述方便，我们用“?an?中几乎所有项”表示“?an?中出有限项外的所有项”)。
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据此，令??111??，则存在N1?N?，在区间?aN1?,aN1??内含有?an?的几乎所有项。222??记这个区间为??1,?1?。
再令??记
111??，则存在，在区间内含有?an?的几乎所有项。a?,a?N?NN2N22?222??222????2,?2????aN?2?11?,a????1,?1?。 N222?22?1。 2它也含有?an?的几乎所有项，且??1,?1????2,?2?及?2??2?继续依次令??11,?,，按照上面的方法得到一闭区间列???n,?n??，其中每一个232n区间都含有?an?的几乎所有项，且满足
?1??2????n????n????2??1
?n??n?1?0 (n??) 2n?1故数列??n?单调递增有上界，数列??n?单调递减有下界。 由单调有界原理可得??n?，??n?的极限都存在，分别设为?和?'。 又由?n??n?1?0 (n??)可得 2n?1???'
下证?就是数列?an?的极限。事实上，由定理3的推论可知，对任给的??0，存在
N?N?，使得对一切n?N时有
??n,?n??U??;??。
因此在U??;??内含有?an?中出有限项外的所有项，这就证得liman??。
n??2.5.5 ⑥?④
证 设闭区间?a,b?被开区间集H所覆盖，记为x1?a，在?x1,b?中取?a,b?中的一点记作x2，得到新的区间?x2,b?。
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