???1
且对任意n?N?，都有：
an??，bn??1
且对任给??0，存在n1,n2?N?，使得
????an??，?1?bn??1??
12故令N?max?n1,n2?，当对任意n?N时，有
????an?an????1?bn?bn??1??
12于是再令?????，???1??，则??,???H。
这表明当n充分大时?an,bn?已被开区间??,??所覆盖。这与?an,bn?的本质矛盾。故假设不成立，即?a,b?可由H中有限个开区间（至多有N?1个）所覆盖。
2.3.2 ④?②
证 设数列?xn?单调递增有上界M，考虑区间?x1,M?，显然任给x??x1,M? (i)当x是数列?xn?的上界时，必有更小的上界x'?x，因而有开邻域?x，其中?x的每一点都是?xn?的上界
(ii)当x不是数列?xn?的上界时，必存在n?N?，使得xn?x。因而有xn的开邻域
?x，其中?x的每一点都不是?xn?的上界。
对于数列?xn?中的每一点，及?x1,M?中的其它点都存在一个开邻域?x(对于xn的每一个开邻域U?xn?除中心外与?xn?的交集为空集)它要么属于第一类，要么属于第二类。
那么，这一切邻域H???xx??x1,M??将?x1,M?覆盖，由定理4可知，存在H的有限个开区间??1,?2,?,?N?将?x1,M?覆盖且U?xn?必在其中。若?xn?不收敛，显然与有限个开区间的本质矛盾。（因为数列?xn?中有无限个点，而每个点的邻域
U?xn????1,?2,?,?N?，左边无限，右边有限，故必有U?xn?除中心外与?xn?交集非空
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的点。）所以?xn?收敛。
2.3.3 ②?⑤
证 设S为有界无穷点集，因此存在M?0，使得S???M,M?。记?a1,b1????M,M?。 将?a1,b1?二等分，因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S的无穷多个点记此区间为?a1,b1? (如果两个半区间都是如此，可任选其一)，且
b2?a2?1?b1?a1??M。 2再将?a2,b2?二等分，两个子区间中至少有一个含有S的无穷多个点。记这个子区间为?a3,b3?，且
b3?a3?1Mb?a?。 ??11222重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列??an,bn??，它满足
bn?an?M?0?n???， 2n?1且每一个?an,bn?都含有S中无穷多个点。
由??an,bn??的构造法则可知，?an?为单调递增的有界数列，?bn?为单调递减的有界数列，且
a1?a2???bn???b2?b1
由定理2可知数列?an?，?bn?极限都存在，设
liman??，limbn??'，
n??n??则有
???'
所以
0??'???bn?an
又
bn?an?1Mb?a? ??11222n?1则有
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0??'???lim?bn?an??0，
n??即
?'??
所以，对任意的??0，存在N?0，当n?N时有?an,bn??U??;??。从而U??;??内含有S的无穷多个点，按定义6，?是S的一个聚点。
2.3.4 ⑤?⑥ 见2.1.5 2.3.5 ⑥?③
证 设??an,bn??是满足定理3条件的区间列。 则
任给??0，存在正整数N，当n?m?N时有
??bm?am?，bn?an?
22由上式及数列?an?与?bn?的单调性可得：
bn?bm?bn?an?an?bm?bn?an?am?bm?? an?am?an?bn?bn?am?an?bn?bm?am??
所以数列?an?与?bn?都是Cauchy列。故数列?an?与?bn?都收敛。 又
lim?bn?an??0
n??所以
limbn?liman??，且????an,bn?。
n??b???n?1下证唯一性
设另有一点?'使得：
????an,bn?，
'n?1?则有
bn?an????'，
12
这与lim?bn?an??0矛盾，即存在唯一的点?使得：????an,bn?
n???n?12.3.6 ③?①
证 设S??, 有上界M．取x0?S，令
?a1,b1???x0,M?，且b1?a1?M?x0；
将?a1,b1?二等分，若右半区间中含有S中的点，则令它为?a2,b2?，否则令左半区间为?a2,b2?，如此得到?a2,b2?且有
?a2,b2???a1,b1?，b2?a2?M?x0； 2如此无限进行下去，得到一闭区间列??an,bn??，其中
?an?1,bn?1???an,bn? n?1,2,?，bn?an?由区间套定义可知，??an,bn??构成一区间套。 根据定理3，存在唯一的实数????an,bn?．
n?1?M?x0?0 ?n???。 n?12下证??supS：因bn恒为S的上界，且limbn??，故任意x?S，必有x?bn，则x??
n??这说明?是S的上界；又因liman??，故任给??0，存在an，使得an????，而an都
n??不是S的上界，因此???更不是S的上界．所以??supS成立．
2.4第四个循环
①?⑤?②?④?③?⑥?① 2.4.1 ①?⑤
证 设S为有界无穷点集，因此存在M?0，使得S???M,M?。记
?a1,b1????M,M?。
将?a1,b1?二等分，因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S的无穷多个点记此区间为?a2,b2? (如果两个半区间都是如此，可任选其一)，有
?a1,b1???a2,b2?，
且
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b2?a2?1?b1?a1??M。 2再将?a2,b2?二等分，则两个子区间中至少有一个含有S的无穷多个点。记这个子区间为?a3,b3?，有
?a2,b2???a3,b3?
且
b3?a3?1Mb?a?。 1?2?122重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列??an,bn??，它满足 (i)?an,bn???an?1,bn?1? (ii)bn?an?M， n2所以每一个?an,bn?都含有S中无穷多个点且，
??M,M???an,bn?，n?1,2,?
由??an,bn??的构造法则可知，?an?，?bn?为有界数列，且
a1?a2???bn???b2?b1
由定理1，可知数列?an?必有上确界，数列?bn?下确界，设
sup?an???，
则有
①对任意的n?0，总有an??；
②对任意的??0，存在N?N?，使得????aN1。 当n?N时有
????aN?an??????
所以，对任意的??0，存在N?0，当n?N时有?an??U??;??。从而U??;??内含有S的无穷多个点，按定义6，?是S的一个聚点。
2.4.2 ⑤?②
证 设数列?an?单调递增有上界M，则?an???a1,M?。将?a1,M?二等分，如果右半
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