第一章、集合
考纲要求
1、理解集合的概念，掌握集合的表示方法。
2、了解集合间的关系，会用符号语言表示集合间的关系。 3、掌握集合的基本运算。
1.1 集合及其表示
学习目标：
1、理解集合的概念，熟练掌握几个常见的数集
2、掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的问题
1.1.1 集合概念
一、课前预习
1、元素与集合的概念：
由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个_____，也简称____。集合中的每个对象叫做这个集合的_______。. 2、集合与元素的表示方法
（1）集合通常用大写的英文字母表示，如A、B、C、P、Q?? （2）元素通常用小写的英文字母表示，如a、b、c、p、q??
3、元素与集合的关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a___ A，记作a___A。
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a____ A，记作a____ A。 3、空集
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做__________，记作________。 注意：?与{0}、0的区别与联系。 4、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可
（2）互异性：集合中的元素没有重复
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 5、集合的分类
集合可以根据它含有的元素的个数分为两类： 有限集：______________________________。 无限集：______________________________。 6、常用数集及表示符号
自然数集：________________________,记作_______。
1
正整数集：_________________________，记作_______。 整数集：___________________________，记作_______。 有理数集：__________________________,记作________。 实数集：_____________________________,记作_______。 二、典型例题
例1、下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②3?Q；③0∈N*；④|－4|?N. A．1 B．2 C．3 D．4
分析： ∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.【答案】 B
点评：
1．判断一个元素是否属于某个集合，关键看其是否具有该集合的特征． 2．N＋(N*)与N不同，前者表示正整数集，而后者表示非负整数集．
强化练习1、
下列各组集合，表示相等集合的是( ) ①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}； ②M＝{3,2}，N＝{2,3}； ③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．
A．① B．② C．③ D．以上都不对
解析：①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2. 答案：B
例2、下列各组对象能构成集合的有( )
①美丽的小鸟；②不超过10的非负整数；③立方接近零的正数；④高一年级视力比较好的同学
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
【分析】 ①③中“美丽”“接近零”的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合；②中不超过10的非负整数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十一个数，是确定的，故能够构成集合；④中“比较好”，没有明确的界限，不满足元素的确定性，故不能构成集合．
【答案】 A
点评：确定性是集合的重要性质。 强化练习2、
1
已知①5∈R；②∈Q；③0＝{0}；④0?N；⑤π∈Q；⑥－3∈Z.正确的个数为________．
3
解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N；⑤π?Q，①②⑥正确． 答案：3
2
下列各组集合，表示相等集合的是( )
①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{3,2}，N＝{2,3}；③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}． A．① C．③
B．② D．以上都不对
【解析】 ①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.
【答案】 B 三、课堂速效
1．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N*中最小的数是1； ②若－a?N*，则a∈N*；
③若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2； ④x2＋4＝4x的解集是{2,2}． A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C.N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a?N*，但a?N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确，故选C.
2．设集合M＝{x∈R|x≤33}，a＝26，则( ) A．a?M B．a∈M C．{a}∈M
D．{a|a＝26}∈M
解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0， 故26<33.所以a∈M.
3．若集合M＝{a，b，c}，M中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选D.根据元素的互异性可知，a≠b，a≠c，b≠c.
4．设集合A＝{2,3,4}，B＝{2,4,6}，若x∈A且x?B，则x等于( ) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：选B.∵x∈{2,3,4}且x?{2,4,6}，∴x＝3. 5．已知x2∈{1,0，x}，则实数x＝________.
解析：∵x2∈{1,0，x}，∴x2＝1或x2＝0或x2＝x. ∴x＝±1或x＝0.
但当x＝0或x＝1时，不满足元素的互异性． ∴x＝－1. 答案：－1
6
6．设集合B＝{x∈N|∈N}．
2＋x
(1)试判断元素1和2与集合B的关系； (2)用列举法表示集合B.
3
663
解：(1)当x＝1时，＝2∈N；当x＝2时，＝?N，∴1∈B,2?B.
2＋12＋226
(2)令x＝0,3,4代入∈N检验，可得B＝{0,1,4}．
2＋x
四、总结反思
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1.1.2 集合的表示方法
一、课前预习
1． ___________________________________________________________________________
____________________________________________________________________叫做列举法；
2． _______________________
_________________________________________________ 叫做性质描述法，简称描述法.
3、文氏图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合. 二、典型例题
例1、用列举法表示下列集合
点评：注意列举法表示集合的书写形式。
强化练习1、小于2的自然数集用列举法可以表示为( )
A．{0,1,2} C．{0,1}
B．{1} D．{1,2}
【解析】 小于2的自然数为0,1，应选C. 【答案】 C
例2、适当的方法表示下列集合．
xy
(1)化简式子＋(x，y为非零实数)所得结果构成的集合；
|x||y|(2)所有偶数组成的集合；
(3)直角坐标系内第二象限的点组成的集合； (4)方程(x－1)(x2－5)＝0的根组成的集合．
解析：(1)根据x，y值的符号，两项分别可得1或－1，化简的结果有3种情形，用列举法表示为{0,2，－2}；
(2)偶数的表达式为2k(k∈Z)．由于有无数个元素，用描述法表示为{x|x＝2k，k∈Z}；
4
(3)代表元素是有序数对(x，y)，用描述法表示为{(x，y)|x<0且y>0}； (4)方程有3个根，用列举法表示为{－5，1，5}． 点评：
用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． 强化练习2、选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y＝x＋6图像上所有点组成的集合．
【解】 (1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}；
55
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是，－2，用列举法表示为{，－2}；
33(3)一次函数y＝x＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．
三、课堂速效
1．下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②3?Q；③0∈N*；④|－4|?N*. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.①②正确，③④错误．
2．下列各组集合，表示相等集合的是( ) ①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}； ②M＝{3,2}，N＝{2,3}； ③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．
A．① B．② C．③ D．以上都不对
解析：选B.①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2. 3．用描述法表示不等式x<－x－3的解集为________．
3
答案：{x|x<－x－3}(或{x|x<－})
2
2
4．集合A＝{x∈N|2x－x－1＝0}用列举法表示为__________．
1
解析：解方程2x2－x－1＝0，得x＝1或x＝－.又因为x∈N，则A＝{1}．
2
答案：{1}
5．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，则6－a∈A，那么a为( )
A．2 C．4
B．2或4 D．0
【解析】 若a＝2，则6－a＝6－2＝4∈A，符合要求； 若a＝4，则6－a＝6－4＝2∈A，符合要求； 若a＝6，则6－a＝6－6＝0?A，不符合要求． ∴a＝2或a＝4. 【答案】 B
5