摘要
问题的重述
设有一座核电站遇自然灾害发生泄漏，浓度为p0的放射性气体以匀速排出，速度为m kg/s，在无风的情况下，匀速在大气中向四周扩散, 速度为s m/s. 1）请你建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。
2）当风速为k m/s时，给出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。
3）当风速为k m/s时，分别给出上风和下风L公里处，放射性物质浓度的预测模型。 4）将你建立的模型应用于福岛核电站的泄漏，计算出福岛核电站的泄漏对我国东海岸，及美国西海岸的影响。
计算所用数据可以在网上搜索或根据具体情况自己模拟。
模型的假设
1. 放射性气体的传播服从菲克第一定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与它的浓度成正比。
2. 假定无地形差异，不考虑逆温，对流对放射性气体浓度变化的影响。 3. 放射性气体在空气中扩散时没有损失，质量始终守恒，且在扩散过程中不发生化学反应。
4. 放射性气体由某一点源向各个方向等强度释放进行扩散，源强是连续并且均匀的。
主要基本符号说明
符号 说明 下风向距离 横风向距离 距地面高度 放射性气体在空间中的浓度 放射性污染物源强，即释放率 风速 分别为水平方向和垂直方向的扩散参数 有效排放高度 重力沉降速度 反射系数 放射性元素的半衰期 雨（冲）洗系数 单位 x y m m z C m kg/m3或Bq/m3 kg/s或Bq/h m/s Q u ?y,?z H m m/s ux ? T0.5 ? d或h 问题的分析
问题一的分析：
问题一不考虑风速和影响放射性气体扩散的其他因素。我们把该问题看做无穷空间点的连续点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程来描述扩散规律。根据“泄露放射性物质质量守恒定律”和“菲克第一扩散规律”进行分析，得出核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型，最后对于该方程进行分析求解。 问题二的分析：
对于问题二我们沿与风向平行的方向上建立x轴，根据湍流扩散与正态分布的基本理论，推导出高斯连续点源扩散模型，考虑到泄漏点高度H，我们将模型修正为高斯高架点源模型。在实际问题的分析中，核污染扩散还要受到气象因素、污染物特征、地理环境等因素的影响。因次，我们在考虑重力沉降对扩散的影响时，考虑沉降速度对有效源高度的影响，并引进反射系数?。干沉积、湿沉积、核衰变对扩散的影响可以用衰减因子来表示，引进衰减因子对源强做了修正，得到了修正后的模型。通过修正后的模型计算风速为km/s时核电站周边空间各点
的放射性气体浓度，并用matlab绘制空间浓度示意图。 问题三的分析：
问题三求风速为km/s时的上风和下风L公里处放射性物质浓度的预测模型实际上是问题二的一个解。由于在问题2中已经假定风向与x轴正方向一致，以泄漏点正下方H处为原点建立坐标系，对此问题来说则可以简化为求(x,0,z)点处的放射性物质浓度，x?L时即求(L,0,z)点处的放射性物质浓度。x?0时对应下风，在下风处，气体相对与地面的扩散的最大速度为(k?s)m/s；x?0对应上风，在上风处，气体相对与地面扩散的最大速度为(k?s)m/s。这样应该不难给出当风速为km/s时，上风和下风L公里处放射性物质浓度的预测模型。 问题四的分析
模型的建立和求解
5.1模型一的建立与求解
建立放射性气体浓度C(x,y,z,t)的变化规律。
将放射性气体泄漏的位置选为坐标原点(0,0,0)，泄漏时刻记作t?0。即时刻t无穷空间中任一点(x,y,z)的放射性气体浓度记为C(x,y,z,t)。根据菲克第一扩散定律，单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比，可以得到：
q??k·gradC（1）
式中，k是扩散系数，grad表示梯度，负号表示由浓度高向浓度低的地方扩散。考察空间域?，?的体积为V，包围?的曲面为S，S的外法线向量为n，则在
[t,t??t]内通过?的流量为
t??tQ1?而?内放射性气体的增量为
???q?nd?dt （2）
tSQ2=???[C(x,y,z,t)?C(x,y,z,t??t)]dVV （3）
由质量守恒定律
Q2?m?t?Q1 （4）
根据曲面积分的高斯公式：
??q?nd?????div q?dVSV
（5）
其中div是散度记号。由（1）-（5）式再利用积分中值定理得到：
??2C?2C?2C??CdV?m?k????2?2?2?dV?????t?0,???x,y,z??????t?x?y?z?VV?（6）
定义稀释后的浓度?p(x,y,z,t)，表示p0经过时间t到时空间中任一点(x,y,z)的浓度，则在[t,t??t]内
t??tm?t?（6）式可简化为
?????tVp(x,y,z,t)dVdt（7）
??2C?2C?2C??C??p?k?2?2?2??t?y?z???x
这是无界区域的抛物型偏微分方程，其初始条件为
（8）
C(0,0,0,t)|t?0?p0 （9）
求出方程（8）满足条件(9)的解为
?mt??xC(x,y,z,t)??p0?e3/2?(4?kt)??2?y2?z24kt
（10）
上述模型仅是一个最理想化的预测浓度模型，这个结果表明，对于任意时刻t烟雾浓度C的等值面是球面x2?y2?z2?R2，并且随着球面半径R的增加C的值是连续减少的；当R??或t??时，C(x,y,z,t)?0。
利用Matlab软件，我们定性的绘制出放射性气体的沿地表的浓度分布以及浓
度的等值线分布
图一