图二
5.2模型二的建立及求解
5.2.1湍流统计理论体系的高斯扩散模型
1）.湍流
低层大气中的风向是不断地变化，上下左右出现摆动；同时，风速也是时强时弱，形成迅速的阵风起伏。风的这种强度与方向随时间不规则的变化形成的空气运动称为大气湍流。近地层的大气始终处于湍流状态，尤其在大气边界层内，气流受下垫面影响，湍流运动更为剧烈。大气湍流造成流场各部分强烈混合，能使局部的污染气体或微粒迅速扩散。放射性气体在大气的湍流混合作用下，由湍涡不断把烟气推向周围空气中，同时又将周围的空气卷入气团，从而形成气体的快速扩散稀释过程。
2). 湍流扩散与正态分布的基本理论 气体污染物进入大气后，一面随大气整体飘移，同时由于湍流混合，使污染物从高浓度区向低浓度区扩散稀释，其扩散程度取决于大气湍流的强度。
图三所示为采用统计学方法研究放射性气体在湍流大气中的扩散模型。假定从原点释放出一个粒子在稳定均匀的湍流大气中飘移扩散，平均风向与x轴同向。湍流统计理论认为，由于存在湍流脉动作用，放射性气体在各方向（如图中y方向）的脉动速度随时间而变化，因而气体的运动轨迹也随之变化。若平均时间间隔足够长，则速度脉动值的代数和为零。如果从原点释放出许多放射性气体，经过一段时间t之后，这些粒子的浓度趋于一个稳定的统计分布。湍流扩散理论（K理论）和统计理论的分析均表明，粒子浓度沿y轴符合正态分布。正态分布的密度函数f(y)的一般形式为：
??(y??)2?1 f(y)??exp?????(???x???,??0)?22???2??（11）
式中σ为标准偏差，是曲线任一侧拐点位置的尺度；μ为任何实数。
图三湍流扩散模型
3).大空间连续点源的高斯扩散模型 我们假设有效源位于坐标原点o处，平均风向与x轴平行，并与x轴正向同向。假设点源在没有任何障碍物的自由空间扩散，不考虑下垫面的存在。大气中的扩散是具有y与z两个坐标方向的二维正态分布，当两坐标方向的随机变量独立时，分布密度为每个坐标方向的一维正态分布密度函数的乘积。参照正态分布函数的基本形式式，取μ＝0，则在点源下风向任一点的浓度分布函数为：
?1?y2z2?? C(x,y,z)?A(x)exp???2?2??????2??y?z???（12）式中，A(x)为待定函数，?y、?z分别为水平、垂直方向的标准差，即y，x方向的扩散参数m。
根据之前的假设（污染物在输送扩散中质量守恒以及污染源的源强均匀、连续），则在任意垂直于x轴的放射气流截面上有：
????q?（13）
式中，q为放射源强度，u为平均风速。由题目条件知，q=m kg/s，u=s m/s。因为风的平均流场稳定，风速均匀，风向平直，所以A与y，z无关。将（12）式带入
????????uCdydz
（13），并考虑
???exp(?t2： /2)dt?2?，积分可得待定函数A（x）
A(x)?q（14）
2?u?y?z将（14）式带入（12）式，得到大空间连续点源的高斯扩散模型
?1?y2z2??qC(x,y,z)?exp???2?2??（15）
??2?u?y?z??2??y?z???式中，扩散系数σy、σz与大气稳定度和水平距离x有关，并随x的增大而增加。当y＝0，z＝0时，A（x）＝C（x,0,0），即A（x）为x轴上的浓度，也是垂直于x轴截面上污染物的最大浓度点Cmax。当x→∞，σy及σz→∞，则C→0，表明污染物以在大气中得以完全扩散。
4.高斯高架点源扩散模型 在点源的实际扩散中，污染物可能受到地面障碍物的阻挡，因此应当考虑地面对放射性气体扩散的影响。我们将其作为高架点源扩散模型。
假设点源在地面上的投影点o作为坐标原点，有效源位于z轴上某点， z＝H。高架有效源的高度由两部分组成，即H＝h＋Δh，其中 h为泄漏口的有效高度，Δh是放射性气体的浮升力和其以一定速度竖直离开泄漏口的冲力使气体抬升的一个附加高度，如图四所示。（抬升高度Δh在模型二的求解中给出）
图四
当污染物到达地面后被全部反射时，可以按照全反射原理，用“像源法”来求解空间某点k的浓度。图中k点的浓度显然比大空间点源扩散公式(15)计算值大，它是位于(0，0，H)的实源在k点扩散的浓度和反射回来的浓度的叠加。反射浓度可视为由一与实源对称的位于(0，0,－H)的像源（假想源）扩散到k点的浓度。
由图可见，k点在以实源为原点的坐标系中的垂直坐标为(z-H)，则实源在k点扩散的浓度为式(15)的坐标沿z轴向下平移距离H：
2?q(z?H)2???1?y?CS?exp???2???（16） 22?u?y?z2????z???y???同理，k点在以像源为原点的坐标系中的垂直坐标为(z＋H)，则像源在k点扩散的
浓度为式(15)的坐标沿z轴向上平移距离H：
2?q(z?H)2???1?y?CX?exp???2???（17） 22?u?y?z?z??????y?2??结合式(16)和式(17)，实源CS和像源CX之和即为k点的实际放射性气体浓度：
C(x,y,z,H)=CS+CX，即
??y2??????(z?H)2???(z?H)2??qC(x,y,z,H)?exp?2??exp??exp????（18） 22?2???2?u?y?z2?2??z??z????y??
5.2.2模型的修正
高斯高架连续点源模型的建立只是考虑了风速的影响，自然环境却要复杂的多。实际核污染物的扩散还要受气象因素、污染物特征、地理环境等因素的影响。在模型的修正中，我们主要从五个方面的影响对其做出分析，包括大气的稳定度，风速，重力沉降，干沉积，湿沉积及衰变，引进了干沉积、湿沉积、以及核衰变的衰减因子。综合各种因素的影响，建立了修正后的高斯高架点源模型。
1).大气的稳定度的影响：
大气稳定度与空气的垂直混合有关，是评价空气层垂直对流程度的指标。大气稳定度划分为三种稳定类型：不稳定、中性和稳定。我们通过查阅资料了解，
对于不稳定的大气情况，浮力的影响增强了大气的机械湍流。对于中性稳定度，空气的温度差不影响大气的机械湍流。对于稳定的大气情况，浮力的影响抑制了机械湍流。
应用高斯模型时，扩散系数?x、?y、?z的选取十分重要，它是大气稳定度及在下风向距泄漏源距离的函数。已知大气稳定度的情况下，扩散系数的确定有多种方法。目前较为常用的扩散系数的确定方法是通过大量的实验得出普遍适用的扩散系数计算公式(以幂函数形式)：
?x?axb?????x?cxd（19）
式中，系数a,b,c,d是大气稳定度和地面粗糙度的函数。大气稳定度的确定是十分复杂的，详细的讨论在模型二的求解中将会给出。
2).风速的影响
风速是决定大气污染物稀释程度的重要因素之一。由高斯扩散模式的表达式可以看出，风速和大气稀释扩散能力之间存在着直接对应关系，当其它条件相同时，下风向上的任一点污染物浓度与风速成反比关系。污染物浓度与地面风速u的关系大致符合以下曲线，如图五所示：
图五
从图中可以看出随着风速的提高，放射性气体浓度值降低，但变化趋势有所不同。当u＞（2～3）m/s时，污染物浓度值随着风速的增加迅速减小，而u＜（2～3）m/s后，放射性气体浓度值基本不变，表明此时的风速对污染物的扩散稀释影响甚微。
我们假设分别从有风(v>1．5 m／s)和小风(1．5m／s>v≥0．5m／s)、静风(v<0．5m／s)2种情况进行讨论：
a：有风情况满足高斯烟羽模型的应用条件，即公式
??(z?He)2??(z?He)2??Qy????C(x,y,z,H)??exp??2???exp???exp?????22?2???2?u?y?y2?2?y???z??z????（19） b：小风和静风可以归为一类，由上图分析可以得出当风速很小的时候，此时风速对污染物的稀释影响甚微，得到小风和静风时的扩散模型
tc(x,y,z,H)??Q?y22?y22???y?z0e?xsx2)(z?H?s)??(z?H????0.693x????2?z2?2??e2?z?eT?dt?e????（20）
3).重力沉降的影响
因为放射性气体密度比空气大，并含有大量微小粒子，应考虑重力沉降速度。
沉降速度受重力和浮力的影响，可以用斯托克斯公式表示
2?gd ?x?18?
式中
?——粒子密度，kg/m3;
g——重力加速度,9.8065m/s2;
d——粒子直径,m;
?5u——空气的动力粘性系数，可取1.8?10kg/(m?s)；
?x——沉降速度，m/s;
实源以?s的速度向下移动，经过时间t，在x处向下移动的高度为?st??sx，?即源高由H降到了H??sx。实际上，由于地面对放射性物质的吸收作用，粒子?落到地面上后会被地面吸收一部分，我们可以引进一个反射系数?（0