【分析】令x=1，则系数和为6n，二项式系数和为2n，由题意，二项式定理的展开式即可得出．
【解答】解：令x=1，则系数和为6n，二项式系数和为2n，由题意，
6
n=6．∴3n=729，（x﹣1）的展开式中系数最小的项为第4项，其系数为
，解得n，再利用
，
．
故答案为：﹣20．
14．用一个实心木球毛坯加工成一个棱长为
．
的三棱锥，则木球毛坯体积的最小值应为 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意，将三棱锥补成一个正方体，其棱长为1，则木球毛坯体积最小时应为正方体的外接球，由正方体对角线长公式求得球的直径，则木球毛坯体积的最小值可求． 【解答】解：如图，
将三棱锥补成一个正方体，其棱长为1，则木球毛坯体积最小时应为正方体的外接球， 此时直径为故答案为：
．
=
，体积为
．
15．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知
，则△ABC的面积是
【考点】正弦定理．
．
，
，
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【分析】由，得acosA=ccosC，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinCcosC，进
而单调a=c，即△ABC为等腰三角形．根据余弦定理，a=c，
，及其三角形面积计算公式即可得出．
，得acosA=ccosC，
，
，结合
【解答】解：在△ABC中，由
由正弦定理可得：sinAcosA=sinCcosC，即sin2A=sin2C，∴A=C或又∵
，∴A=C，即a=c，即△ABC为等腰三角形；
根据余弦定理，，结合a=c，，有：c=2=a， ，
∴．
故答案为：
16．已知函数
．
若有三个不同的实数x1，x2，x3（x1
．
＜x2＜x3），使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则满足x1+x2＞4π﹣x3的事件的概率为
【考点】几何概型．
【分析】根据分段函数，求出满足条件的区间，以长度为测度，即可求出满足x1+x2＞4π﹣x3的事件的概率．
【解答】解：当x∈[0，π）时，f（x）=1﹣sinx在[0，π）上先减后增，且0≤f（x）≤1，当且仅当
时，f（x）=0．
设f（x1）=f（x2）=f（x3）=d，由f（x）=1﹣sinx在（0，π）上的对称性，方程1﹣sinx=d有两个不同的根，两根和为π； 当x∈[π，+∞）时，
单调递增，故f（x）≥log20161=0，
若有三个不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则0＜f（x1）=f（x2）=f（x3）＜1，
x1+x2=π，x1，x2∈[0，x3∈[π，π）∵x1＜x2＜x3，则由以上分析知，，+∞），
，
即π＜x3＜2016π，故2π＜x1+x2+x3＜2017π．当x1+x2＞4π﹣x3时，4π＜x1+x2+x3＜2017π， ∴满足x1+x2＞4π﹣x3的事件的概率为
．
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故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设数列{an}满足：a1=1且an+1=2an+1（n∈N+）． （1）求数列{an}的前n项和Sn； （2）用数学归纳法证明不等式：
+
+…+
＜n（n≥2，n∈N+）．
【考点】数学归纳法；数列的求和． 【分析】（1）根据数列的递推公式，和等比数列的求和公式即可求出答案． （2）直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立． 【解答】（1）解：由题意有：
，
即{an+1}是一个以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列， ∴
，
∴=．
（2）证明：由（Ⅰ）可得所证不等式为下面用数学归纳法证明： ①当n=2时，左边=
②假设n=k（k≥2，k∈N*）时不等式成立， 即
，
，不等式成立；
（n≥2，n∈N*）．
当n=k+1时，不等式左边=，
∵k≥2，k∈N*，∴
，∴，
∴当n=k+1时，
综上①②，对任意n∈N*，不等式成立．
成立，
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18．贵阳一中食堂分为平行部食堂和国际部食堂，某日午餐时间，某寝室4名学生在选择就餐食堂时约定：每人通过掷一牧质地均匀的骰子决定自己去哪个食堂就餐，掷出点数为1
或2的人去国际部食堂就餐，且每个人必须从平行部食堂和国际部食堂中选一个食堂就餐．
（I）求这4名学生中恰有2人去国际部食堂就餐的概率；
（Ⅱ）用x，y分别表示这4人中去国际部食堂和平行部食堂就餐的人数，记ξ=xy，求随机变量ξ的分布列和期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）每名同学到去国际部食堂就餐的概率p=，去平行部食堂就餐的概率为，由此能求出这4名学生中恰有2人去国际部食堂就餐的概率．
（Ⅱ）用x，y分别表示这4人中去国际部食堂和平行部食堂就餐的人数，记ξ=xy，由已知得ξ的可能取值为0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ． 【解答】解：（Ⅰ）∵每人通过掷一牧质地均匀的骰子决定自己去哪个食堂就餐， 掷出点数为1或2的人去国际部食堂就餐，且每个人必须从平行部食堂和国际部食堂中选一个食堂就餐，
∴每名同学到去国际部食堂就餐的概率p=，去平行部食堂就餐的概率为1﹣p=， ∴这4名学生中恰有2人去国际部食堂就餐的概率： P（X=2）=
=
．
（Ⅱ）用x，y分别表示这4人中去国际部食堂和平行部食堂就餐的人数，记ξ=xy， 由已知得ξ的可能取值为0，3，4， P（ξ=0）=P（ξ=3）=P（ξ=4）=∴ξ的分布列为：
ξ P +=
． =
，
=
，
0 =．
3 4 Eξ=+4×
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥底面ABCD，PA=AB=2，BC=PA，BD=
，E在PC边上．
（1）求证：平面PDA⊥平面PDB；
（2）当E是PC边上的中点时，求异面直线AP与BE所成角的余弦值； （3）若二面角E﹣BD﹣C的大小为30°，求DE的长．
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【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）由题意可得AD2+BD2=AB2，得AD⊥BD，再由PD⊥底面ABCD，得BD⊥平面PAD，由面面垂直的判定得平面PDA⊥平面PDB；
（2）以D为原点建立如图3所示空间直角坐标系，由已知得到点D、P、A、B、C、E的坐标，由
的夹角求得异面直线AP与BE所成角的余弦值；
，且0≤λ≤1，从而求出
的
（3）由C，E，P三点共线，得
坐标，再求出平面EDB与平面CBD的法向量，结合二面角E﹣BD﹣C的大小为30°列式求得λ，进一步得到的坐标，则DE的长可求． 【解答】（1）证明：∵底面ABCD是平行四边形，∴AD=BC=1， 又，满足AD2+BD2=AB2， ∴AD⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BD，得BD⊥平面PAD， ∵BD?平面PDB，∴平面PDA⊥平面PDB；
（2）解：以D为原点建立如图3所示空间直角坐标系，
则，
，
，
，
∵E是PC边上的中点，∴则
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