∴cos＜＞=|
|=|=；
（3）解：由C，E，P三点共线， 得从而有
设平面EDB的法向量为
，
，且0≤λ≤1，
，
由，得，
取x=，得，
，
又平面CBD的法向量可取
∵二面角E﹣BD﹣C的大小为30°，∴cos30°=|=|，解得．
∴
20．已知椭圆
，则|DE|=||=．
的右焦点是抛物线y2=4x的焦点，以原点O为圆
心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线x+y﹣2=0相切． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于P，Q两点，且△POQ的面积为定值，试判断直线OP与OQ的斜率之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，可得c值，再由点到直线的距离公式求得a，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式求得|PQ|，再由点到直线的距离公式求得O到直线l的距离，结合△POQ的面积为定值求得k与m的关系，代入斜率公式可得直线OP与OQ的斜率之积是否为定值． 【解答】解：（1）由y2=4x，得p=2，则再由点到直线的距离公式得a=
，∴c=1， ，
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∴b2=a2﹣c2=3， ∴椭圆C的标准方程为
；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立
，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，
△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，即3+4k2﹣m2＞0，
，
，
，
∴，
O到直线l的距离，
∴4k2=3． 则
，
，可得2m2﹣
∴kOP?kOQ为定值
．
21．已知f（x）=﹣x2+ax﹣2，g（x）=xlnx． （1）对任意x∈（0，+∞），g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围； （2）求函数g（x）在区间[m．m+1]（m＞0）上的最值； （3）证明：对任意x∈（0，+∞），都有lnx+
≥
成立．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）问题转化为
在x∈（0，+∞）上恒成立，令
，
根据函数的单调性，求出F（x）的最小值，从而求出a的范围即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出g（x）的最小值、最大值；
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（3）问题等价于证明设
，知道g（x）=xlnx的最小值，
，根据函数的单调性求出G（x）的最大值，从而
证出结论即可． 【解答】（1）解：对任意x∈（0，+∞），g（x）≥f（x）恒成立， 即xlnx≥﹣x2+ax﹣2恒成立，也就是令
，
在x∈（0，+∞）上恒成立．
则，
x∈（0，1）时，F'（x）＜0；x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0， 因此在x=1处取极小值，也是最小值， 即F（x）min=F（1）=3， ∴a≤3．
（2）解：g'（x）=lnx+1，令g'（x）=0得当在
时，在
，
上，g'（x）＜0；
上，g'（x）＞0，
因此g（x）在处取得极小值，也是最小值， 故
，
由于g（m）=mlnm＜0，g（m+1）=（m+1）ln（m+1）＞0， 因此，g（x）max=g（m+1）=（m+1）ln（m+1） 当
时，g'（x）≥0，因此g（x）在区间[m，m+1]（m＞0）上单调递增，
故g（x）min=g（m）=mlnm，g（x）max=g（m+1）=（m+1）ln（m+1） （3）证明：问题等价于证明由（Ⅱ）知g（x）=xlnx当且仅当
时取最小值
，
，
设，则，
易知
从而可知对任意x∈（0，+∞），都有
[选修4-1：几何证明选讲]
， 成立．
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22．如图，已知PA与圆O相切，P为切点，割线ABC与圆O相切于点B，C，AC=2PA，D为AC的中点．PD的延长线交圆O于E点，证明： （1）∠ECD=∠EBD； （2）2DB2=PD?DE．
【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（Ⅰ）如图3，连接PB，PC，由已知可得：∠APD=∠ADP，进而得出∠CPD=∠BPD，可得CE=EB，即可证明．
PA2=AB?AC，（Ⅱ）由切割线定理得，可得B是AD中点，由相交弦定理，得DB?DC=PD?DE，
即可证明． 【解答】证明：（Ⅰ）如图3，连接PB，PC， 由题设知PA=AD，∴∠APD=∠ADP，
∵∠ADP=∠PCD+∠CPD，∠APD=∠BPD+∠BPA，∠PCD=∠BPA， ∴∠CPD=∠BPD， 从而，因此CE=EB， ∴∠ECD=∠EBD．
（Ⅱ）由切割线定理得，PA2=AB?AC，
∵PA=AD=DC，∴DC=2AB，∴AB=DB，即B是AD中点， 由相交弦定理，得DB?DC=PD?DE， ∴2DB2=PD?DE．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知曲线C的方程为
，点
．
（1）求曲线C的直角坐标方程和点A的直角坐标；
（2）设B为曲线C上一动点，以AB为对角线的矩形BEAF的一边平行于极轴，求矩形BEAF周长的最小值及此时点B的直角坐标． 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）曲线C的方程为
y=ρsinθ，可得曲线C的直角坐标方程．点
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2
1+2sin2θ）=3，，即ρ（利用互化公式x=ρcosθ，
即可化为直角坐标．
（2）曲线C的参数方程为
设，依题意可得
即可得出矩形BEAF的周长，再利用和差公式即可得出． 【解答】解：（1）曲线C的方程为
，即ρ2（1+2sin2θ）=3，
，可设：
，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为．
点
化为直角坐标为A
．
（2）曲线C的参数方程为∴设
，
依题意可得
，
矩形BEAF的周长==，
当
时，周长的最小值为
， 此时，点B的直角坐标为
．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设x，y，z∈R，若x﹣2y+z=4． （1）求x2+y2+z2的最小值；
（2）求x2+（y﹣1）2+z2的最小值． 【考点】基本不等式． 【分析】（1）（2）利用柯西不等式即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）由柯西不等式， 得：（x2+y2+z2）[12+（﹣2）2+12]≥（x﹣2y+z）2 即：6（x2+y2+z2）≥42， ∴
，当且仅当
时等号成立，
故：x2+y2+z2的最小值为．
（Ⅱ）由柯西不等式，
得：[x2+（y﹣1）2+z2][12+（﹣2）2+12]≥（x﹣2y+2+z）2． 即：6[x2+（y﹣1）2+z2]≥62， ∴x2+（y﹣1）2+z2≥6，当且仅当时等号成立，
故：x2+（y﹣1）2+z2的最小值为6．
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，
2016年12月5日
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