专题6.1 数列的通项公式与求和
【三年高考】
1. 【2017课标3，文17】设数列?an?满足a1?3a2?（1）求?an?的通项公式； （2）求数列??(2n?1)an?2n.
?an?? 的前项和.
?2n?1??(2n?1)an?2n，①
【解析】（1）∵a1?3a2?∴n?2时，a1?3a2???(2n?3)an?1?2(n?1)② ①-②得，(2n?1)an?2，an?（2）由（1）∴
22，又n?1时，a1?2适合上式，∴an?. 2n?12n?1an211， ???2n?1(2n?1)(2n?1)2n?12n?1Sn?.
aa1a21111112n????n?(1?)?(?)???(?)?1??352n?13352n?12n?12n?12n?12.【2016高考上海文科】无穷数列?an?由k个不同的数组成，Sn为?an?的前n项和.若对任意n?N，Sn??2,3?，则k的最大值为________.
?【答案】4
2时，若Sn?2，则Sn?1?2，于是an?0，若【解析】当n?1时，a1?2或a1?3；当n…Sn?3，则Sn?1?3，于是an?0.从而存在k?N?，当n…k时，ak?0.其中数列?an? ：
2,1,?1,0,0,0,???满足条件，所以kmax?4.
3. 【2016高考新课标Ⅲ文数】已知各项都为正数的数列?an?满足a1?1，
2an?(2an?1?1)an?2an?1?0.
（I）求a2,a3；
（II）求?an?的通项公式.
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4.【2016高考浙江文数】设数列{an}的前项和为Sn.已知S2=4，an?1=2Sn+1，n?N*. （I）求通项公式an；
（II）求数列{an?n?2}的前项和.
?a1?a2?4?a1?1【解析】（I）由题意得：?，则?，又当n?2时，由
?a2?2a1?1?a2?3an?1?an?(2Sn?1)?(2Sn?1?1)?2an，
得an?1?3an，所以，数列{an}的通项公式为an?3n?1,n?N*. （II）设bn?|3n?1?n?2|，n?N，b1?2,b2?1.当n?3时，由于3*n?1?n?2，故
bn?3n?1?n?2,n?3.
设数列{bn}的前项和为Tn，则T1?2,T2?3.当n?3时，
9(1?3n?2)(n?7)(n?2)3n?n2?5n?11Tn?3???，所以，
1?3222,n?1??n. Tn??3?n2?5n?11*,n?2,n?N??2n?N}，5．【2016高考上海文科】对于无穷数列{an}与{bn}，记A={x|x=a，B={x|x=bn，n?N*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A?B??且AB?N*，则称
{an}与{bn}是无穷互补数列.
（1）若an=2n?1，bn=4n?2，判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若an=2且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数列{bn}的前16项的和；
（3）若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且a16=36，求{an}与{bn}得通项公
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n*式.
（3）设?an?的公差为d，d???，则a1 5d?36．由a1?36?15d1?，得d?1或．6?a1?1若d?1，则a1?21，an?n?20，与“?an?与?bn?是无穷互补数列”矛盾；若d?2，则
?n,n?5?n,n?5．综上，an?2n?4，bn??． a1?6，an?2n?4，bn??2n?5,n?52n?5,n?5??6.【2015高考新课标1，文13】数列?an?中a1?2,an?1?2an,Sn为?an?的前n项和，若
Sn?126，则n? . 【答案】6
【解析】∵a1?2,an?1?2an，∴数列?an?是首项为2，公比为2的等比数列，
2(1?2n)?126，∴2n?64，∴n=6. ∴Sn?1?2?1?7.【2015高考山东，文19】已知数列?an?是首项为正数的等差数列，数列??的前
a?a?nn?1?项和为
n. 2n?1（I）求数列?an?的通项公式；
（II）设bn??an?1??2n，求数列?bn?的前项和Tn.
a【解析】（I）设数列?an?的公差为d，令n?1,得
11?，所以a1a2?3.令n?2,得a1a23112??，所以a2a3?15.解得a1?1,d?2，所以an?2n?1. a1a2a2a35（II）由（I）知bn?2n?22n?4?n?4n,所以Tn?1?41?2?42?......?n?4n,所以
4Tn?1?42?2?43?......?(n?1)?4n?n?4n?1,两式相减，得
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?3Tn?41?42?......?4n?n?4n?1
4(1?4n)1?3nn?143n?1n?144?(3n?1)?4n?1n?1??n?4??4?,所以Tn??4??.
1?4339998.【2015高考湖南，文19】设数列{an}的前项和为Sn，已知a1?1,a2?2，且
an?1?3Sn?Sn?1?3,(n?N*)，
（I）证明：an?2?3an； （II）求Sn.
【解析】（I）由条件，对任意n?N，有an?2?3Sn?Sn?1?3,(n?N*)，因而对任意
*n?N*,n?2，有an?1?3Sn?1?Sn?3,(n?N*)，两式相减，得an?2?an?1?3an?an?1，即an?2?3an,(n?2)，又a1?1,a2?2，所以a3?3S1?S2?3?3a1?(a1?a2)?3?3a1，故
对一切n?N，an?2?3an. （II）由（I）知，an?0，所以
*an?2?3，于是数列{a2n?1}是首项a1?1，公比为3的等比an数列，数列{a2n}是首项a1?2，公比为3的等比数列，所以a2n?1?3n?1,a2n?2?3n?1，于是
S2n?a1?a2??(1?3?n?1?a2n?(a1?a3?n?1?a2n?1)?(a2?a4?n?1?a2n)
3)?2(1?3?3)?3(1?3?3(3n?1)3)? ，从而
23(3n?1)3S2n?1?S2n?a2n??2?3n?1?(5?3n?2?1)，综上所述，
22n?2?3*2(5?3?1),(n?2k?1,k?N)??Sn??2n.
?3(32?1),(n?2k,k?N*)??29.【2015高考浙江，文17】已知数列{an}和{bn}满足，a1?2,b1?1,an?1?2an(n?N),
*11b1?b2?b3?23（1）求an与bn；
1?bn?bn?1?1(n?N*). n- 4 -
（2）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
【解析】 (1)由a1?2,an?1?2an，得an?2.当n?1时，b1?b2?1，故b2?2.当n?2时，
n1bn?1bn?bn?1?bn，整理得n?1?，所以bn?n. nbnn(2)由(1)知，anbn?n?2，所以Tn?2?2?2?3?2?n23?n?2n
2Tn?22?2?23?3?24??(n?1)?2n?n?2n?1，所以
?2n?n?2n?1?(1?n)2n?1?2，所以Tn?(n?1)2n?1?2.
Tn?2Tn??Tn?2?22?23?【2017考试大纲】 数列的概念和简单表示法
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式). (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数 【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 对数列通项公式和求和这部分的考查，主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法，往往与函数、方程、不等式等知识建立联系，高考中一般会以各种形式考查． 【2018年高考复习建议与高考命题预测】
由前三年的高考命题形式可以看出 , 高考对数列概念与表示方法的考查，要深刻体会数列不光体现一种递推关系，它具有函数特征，故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察，一般会以等差数列和等比数列具体形式出现，或者由项的递推关系或者项与前n项的的关系得出，同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用．对数列求和的考察，要掌握常见的数列求和方法（直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法），往往会和不等式建立联系，会牵涉到放缩法，难度会大点，注意等价转换思想的活用．这部分试题难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．由于连续三年大题没涉及数列,故预测2018年高考将以等差数列，等比数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，特别是错位相减法求和问题，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．
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