a8成等比数列．
(Ⅰ)求数列?an?的通项公式； (Ⅱ)设bn?ancos?an2，求数列?bn?的前2017项和．
【解析】(Ⅰ)设等差数列?an?的公差为d，由题意可知，
a1?d?3a?d?3a?2，所以an?n?1； {12?{a1?{1(?a?2da?7da5?a3a8?1??1?d?1(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， bn?ancos?n?1??an???n?1?cos，所以数列?bn?的前2017项和为 22?b1?b2?b3?b4????b2013?b2014?b2015?b2016??b2017 ?504?2?2018 ??1010.
10. 【四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试】设数列{an}的前项和为Sn，已知
Sn?2an?1(n?N*).
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若对任意的n?N，不等式k(Sn?1)?2n?9恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)令n?1，S1?2a1?1?a1，解得a1?1．由Sn?2an?1，有Sn?1?2an?1?1， 两式相减得an?2an?2an?1，化简得an?2an?1（n≥2），∴ 数列{an}是以首项为1，公比为2 的等比数列，
∴ 数列{an}的通项公式an?2n?1． (2)由k(Sn?1)≥2n?9，整理得k≥
*2n?92n?9b?，令，则n2n2n2n?72n?911?2n11?2n??b?b??0，∴， n=1，2，3，4，5时，n?1n2n?12n2n?12n?111?2nb1?b2?b3?b4?b5． n=6，7，8，…时，bn?1?bn?n?1?0，即b6?b7?b8????． ∵
23313??)． b5= an?1?a1?an?n，则 111?（ ） ??......?a2016a1a2- 16 - A． 2015201640344032 B． C． D． 2016201720172017【答案】D 【解析】由已知an?1?an?n?1，累加法可得an?n(n?1)1211，则??2(?)，2ann(n?1)nn?1所以 11403211． ??......??2(1?)?a1a2a20162017201712. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺一】数列?an?满足：a1?1，且对任意的m,n?N?，都有am?n?am?an?mn，则 1111????????（ ） a1a2a3a2014A． 2013201320134028 B． C． D． 2014100720152015【答案】D 【解析】因为am?n?am?an?mn，则可得a1?1,a2?3,a3?6,a4?10，则可猜得 an?121?n?n?1??1，∴??2???，∴2ann?n?1??nn?1?11?4028?，故选D． ??20142015?20151352n?n?3?m，若341111?111????????2?1????a1a2a3a2014?22313. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺】已知数列?an?满足an?数列?an?的最小项为，则实数m的值为（ ） A． 1111 B． C．? D．? 3443【答案】B - 17 - 14. 【2016年河北石家庄高三二模】数列?an?满足：a3?1,an?an?1?2an?an?1，则数列5?an?an?1?前10项的和为______. 【答案】 10 211,令n?1,则a1?a2?2a1?a2,解得a1?1,3【解析】令n?2,a2?a3?2a2?a3,解得a2?对an?an?1?2an?an?1两边除以an?an?1,得公差为的等差数列,所以 ?1?111??2,故数列??是以?1为首项,an?1ana1?an?1111?11??2n?1,an?,an?an?1?????,故其前10项的和an2n?1?2n?1???2n?1?2?2n?12n?1?为 1?111?1????2?335?11?1?1?10. ????1???1921?2?21?2115. 【2016届吉林四平一中高三五模】数列{an}的前项和为Sn，a1?1，an?1?2Sn(n?N*). （1）求数列{an}的通项an； （2）求数列{nan}的前项和为Tn. 【解析】（1）因为an?1?2Sn，所以Sn?1?Sn?2Sn，所以 Sn?1?3.又因为S1?a1?1，所以Sn数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，所以Sn?3n?1(n?N*).当n?2时， an?2Sn?1?2?3n?2(n?2)， ?1,n?1所以an??. n?22?3,n?2?（2）Tn?a1?2a2?3a3??nan，当n?1时，T1?1， ?2n?3n?2，① 当n?2时，Tn?1?4?30?6?31?3Tn?3?4?31?6?32?2n?3n?1 ② ?3n?2)?2n?3n?1， ①-②得：?2Tn??2?4?2(31?32? - 18 - 3(1?3n?2)11?2?2??2n?3n?2??1?(1?2n)?3n?1,所以Tn??(n?)3n?1(n?2)， 221?3又因为T1?a1?1也满足上式，所以Tn? 【一年原创真预测】 1. 【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】已知各项均为正数的递增数列?an?的前项和为Sn满足2Sn?an?1，bn?11?(n?)3n?1(n?N*). 22an（t?N*），若b1,b2,bm成等差数列，则t?m?（ ） an?tA．8 B．9 C．7或8 D．8或9 【答案】D 【解析】当n?1时，2a1?a1?1，解得a1?1；当n?2时，由2Sn?an?1，得 ?a?1??a?1??a?1?Sn??n?，则an?Sn?Sn?1??n???n?1?，整理，得 ?2??2??2?22a?1???an?1?1?．由题意知，数列?an?为单调递an?an?1?2an?2an?1?0，配方，得?n22222增数列，且an?0，则an?1?an?1?1，即an?an?1?2，所以数列?an?为等差数列，则所以bn?an?2n?1，所以m?3?2n?1312m?1??，则由b1,b2,bm成等差数列，得2?， 2n?1?t3?t1?t2m?1?t4．因为m,t?N*，故只能取2，3，5．当t?2时，m?7；当t?3时，m?5；t?1当t?5时，m?4，所以m?t?8或9，故选D． 【入选理由】本题考查数列通项an与前项和Sn间的关系、等差数列，意在考查运算求解能力、逻辑推理能力、估算能力．表面看题，似难度重重，认真审题，找出规律，从而可解，难度不大，有一定的技巧，故选此题. 2．数列{an}满足2nan?1?(n?1)an，其前项和为Sn，若a1?的值为（ ） （A）8 （B）9 （C）10 （D）11 【答案】D 【解析】由2nan?1?(n?1)an得 16，则使得2?Sn?an最小25an?11n?1，故??an2n - 19 - an1a2a3123n????n?n?1(????)，即an?a1?n?1?n?()n，所以 22a1a2an?1212n?111111Sn?1?()?2?()2?3?()3???(n?1)?()n?1?n?()n，则 22222111111Sn?1?()2?2?()3?3?()4???(n?1)?()n?n?()n?1，两式相减，化简得222222116116n1nSn?2?()n?1?n?()n，故不等式2?Sn?an即为()n?1?n?()n??()，解得 22522526n?10，故使得2?Sn?an最小的值为11，故选D． 5【入选理由】本题考查数列递推关系、叠乘法求通项公式、错位相减法求和等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及转化思想的应用．递推关系需注意变形方法,此题难度不大，有一定的技巧，故选此题. 3. 【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】设数列?an?的前项和为Sn，已知a2?4，an?2???1?n?1an?2，则S20?_____. 【答案】140 【解析】当n为偶数时，an?2?an?2，所以偶数项成首项为，公差为的等差数列，所以前20项中偶数项的和为S偶=10?4+10?9?2=130；当n为奇数时，an?2+an?2，故2a1?a3?a5?a7?a9?a11?a13?a15?a17?a19?2，故前20项中奇数项的和为10，从而 S20?130?10?140． 【入选理由】本题考查数列的递推公式，前n项和等基础知识，意在考查转化与化归思想和运算求解能力．递推关系是高考考试的重点与难点,有一定的技巧,需加强练习，故选此题. 4. 已知数列{an}的前项和为Sn，S1?1，S2?4，且当n?3时，Sn?1?差中项.数列{bn}为等比数列，且b2?3是Sn与Sn?2的等211，b3?. a2?1a3?2（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an?bn}的前项和Tn. Sn?1?【解析】（Ⅰ）因为当n?3时， 33是Sn与Sn?2的等差中项，所以2(Sn?1?)?Sn?Sn?2，22即Sn?Sn?2?2Sn?1?3，也就是(Sn?Sn?1)?(Sn?1?Sn?2)?3，即an?an?1?3(n?3).而 - 20 -