习题1
1-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为
f，质量为m，求它的弹性系数。
解：由公式
fo?12?KmMm得：Km?(2?f)2m
1-2 设有一质量Mm用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问： （1） （2）
当这一质点被拉离平衡位置?时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ 当外力去掉后，质点Mm在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？
（答：
f0?12?gl，g为重力加速度）
图 习题1－2
解：（1）如右图所示，对Mm作受力分析：它受重力Mmg，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T，这两力的合力F就是小球摆动时
的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。 设绳子摆动后与竖直方向夹角为?，则sin?受力分析可得：F?
?l
?Mmgsin??Mmg?l（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知：
d2?F??Mm2
dtd2??d2?g?Mmg 即 2???0, 则 ?Mm2dtldtl ? ?02?g1 即 f0?l2πg, 这就是小球产生的振动频率。 l1-3 有一长为l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置x0处，挂着一质量Mm，如图所示，试问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置?时，它所受到的恢复平表示？
衡的力由何产生？并应怎样
图 习题1-3
(2) 当外力去掉后，质量Mm在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？ (3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对Mm进行受力分析，见右图，
Fx?Tl?x0(l?x0)??222?Tx0x??202?0
（????x0 ，?x02??2?x0,(l?x0)2??2?(l?x0)2 。）
Fy?T?(l?x0)??22?T?x??202
?T?l?x0?T?x0
?Tl?
x0(l?x0)可见质量Mm受力可等效为一个质点振动系统，质量M?Mm，弹性系数k?Tl?x0(l?x0)Tl。
x0(l?x0)（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为F?，方向为竖直向下。
（2）振动频率为??K?M?Tlx0(l?x0)Mm。
（3）对?分析可得，当x0l时，系统的振动频率最低。 21-4 设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的x0位置处悬有一质量为M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子向下产生静位移?0以保持力的平衡，并假定M离平衡位置?0的振动?位移很小，满足????0条件。
图 习题1－4
2Tcos??Mg???4??0?0?Mg 解：如右图所示，受力分析可得 cos????l1?l?2?又????0，T'?T，可得振动方程为
?2T?0??l2d2??M2dt
即
d2?4T4TM2?????0
dtll? f?12?4Tl1?M2?Mg1??0M2?g?0 1-5 有一质点振动系统，已知其初位移为?0，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。 解：设振动位移?速度表达式为v由于???acos(?0t??)，
???0?asin(?0t??)。
t?0??0，vt?0?0，
代入上面两式计算可得：???0cos?0t ；
v???0?0sin?0t。
振动能量E?11222Mmva?Mm?0?a。 221-6 有一质点振动系统，已知其初位移为?0，初速度为v0，试求其振动位移、速度、和能量。
解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为Km，质量为Mm，取正方向沿x轴，位移为?。
则质点自由振动方程为
d2?Km22????0, （其中??,） 002dtMm 解得
???acos(?0t??0),
v?d????0?asin(?0t??0??)??0?acos(?0t??0?) dt2当?t?0??0，vt?0?v0时，
1?22????0?va0??0??acos?0??0?? ????v???cos(??)00a0????arctanv0?20??0?0?v020
质点振动位移为??1?0222?0?0?v0cos(?0t?arctan?0?0)
质点振动速度为v222??0?0?v0cos(?0t?arctan?)
?0?02v0?质点振动的能量为E?112222Mmva?Mm(?0?0?v0) 221?sin?t?sin2?t，试问：
21-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加?(1) 在什么时候位移最大？ (2) 在什么时候速度最大？ 解：??1?sin?t?sin2?t，
2?d???cos?t??cos2?t dtd2????2sin?t?2?2sin2?t。 2dtd???0，得：?t?2k??或?t?2k???dt32k???3经检验后得：t?时，位移最大。
令
，
?d2??0，得： ?t?k?令
dt2经检验后得：t或?t1?2k??arccos(?)，
4?2k??时，速度最大。
1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示
???1cos(?t??1)??2cos(?t??2)
试证明
???acos(?t??)
?1sin?1??2sin?2
?1cos?1??2cos?2其中?a??12??22?2?1?2cos(?2??1)，??arctan证明：? 设
??1cos(?t??1)??2cos(?t??2)
??1cos?tcos?1??1sin?tsin?1??2cos?tcos?2??2sin?tsin?2 ?cos?t(?1cos?1??2cos?2)?sin?t(?1sin?1??2sin?2)
A??1cos?1??2cos?2 ，B??(?1sin?1??2sin?2)
则 又
??Acos?t?Bsin?t=A2?B2cos(?t??) （其中??arctan(?)） A2?B2??12cos2?1??22cos2?2?2?1?2cos?1cos?2
??12sin2?1??22sin2?2?2?1?2sin?1sin?2
BA
??12??22?2?1?2(cos?1cos?2?sin?1sin?2)
??12??22?2?1?2cos(?2??1)
B?sin?1??2sin?2?)arctan1( )A?1cos?1??2cos?2又
??arcta?n( 令
?a?A2?B2??12??22?2?1?2cos(?2??1) 则
???acos?(t??)
1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示
???1cosw1t??2cosw2t (w2?w1)
试证明
?sin(?wt)22???acosw(1t??)，其中?a??1??2?2?1?2cos(?wt),??arctan2,?w?w1?w2.
?1??2cos(?wt)解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。 由余弦定理知，
?a??12??22?2?1?2cos(w2t?w1t)
??1??2?2?1?2cos(?wt)其中，?w?22
w2?w1。
由三角形面积知，
11?1?2sin?wt??1?asin? 22得
sin???2sin?wt?a22
得
tg???2sin?wt?a??2sin?wt?2sin?wt(?1??2cos?wt)22
?
??2sin?wt
?1??2cos?wt?2sin?wt 即可证。
?1??2cos?wt故
??1-10 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.
证 由胡克定理得 mg＝Kmξ1
? Km＝mg/ξ1 f0?12?KmMm得，Mm由质点振动系统固有频率的表达式
?Km4?f022?mg4?f0?122.
纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.
1-11 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。