uux?Bsinx)cos(ut??)（其中u??n?2πfn） ccu 当?x?0?0时，得A?0则?(t,x)?Bsinxcos(ut??)
c??u??Businxsin(ut??) ?tc弦的振动位移为?(t,x)?(Acos
u?2?2??Businxcos(ut??) 2c?t??uu?Bcosxcos(ut??) ?xccuuu2带入边界条件可得： ?TBcoslcos(ut??)??MBusinlcos(ut??)
cccuT 即 tanl?
cMcuuuTuTl?lMSl??? ltanl? 2ccMcucMMMc （其中c?T?, 弦的质量为Ms，线密度为?）
令rMu?l，??ScM，则rtanr??，这就是弦作自由振动时的频率方程。
??3??42 （2）当Mm< rtanr?? 可简化为 ??2?4?????.求解这一代数方程，可得近似关系为 ?2???1??. 33??<<1 ? 1?1?x?x2?x3?? (x2?1) 且?1?x1? ? ?1? ?31?3 则 r2???11??3?MS?M11?Ms?MM1?sM?s3M3 又r2?fnuT?l?l，c?,Ms??l cc?则 f0?1c?Ms?2?l1MM?s31＝ 12?T?Ms??l21MM?s3 ＝ 12?T?Ms?lMsMM?s3＝ 12?KmMM?s3 （其中Km?Tl） 2-7 长为l的棒一端固定一端自由，如果在初始时刻有沿棒的轴向力作用于自由端，使该端产生静位移ξ0，然后释放. 试求棒作纵振 动时各次振动方式的位移振幅. 解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为 ?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos?(t??). (1)(2) 由棒一端固定一端自由的边界条件得 ??|x?0?0?????0??x?x?l由(1)式?Acos(wt??)?0?A＝0. 1??coskl?0?kn?(n?)2l(n?1,2,3,?). 由(2)式?kBcosklcos(wt??)?0由此各阶简正频率对应的位移表达式为 ?n(t,x)?Bnsinknxcos?(nt??n). 棒的总位移为各简正频率位移之和，即?(t,x)??Bn?1?nsinknxcos(?nt??n). 棒的初始条件为 ?0??|?x?t?0?l??????0??t?t?0. (3) (4)由(4)?sin?n?0??n?n?由(3)?Bncos(??n)?2l?0(x)sinknxdx ?0l2?02l??Bn?(?1)n??x?0sinknxdx???l0l(n??)22. 2-8 有一长1m、截面为1×10-4m2的铝棒( ρ=2.7×103kg/m3)，两端自由. (1) (2) 试求棒作纵振动时的基频，并指出在棒的哪一个位置位移振幅最小？ 如果在一端负载着0.054kg的重物，试问棒的基频变为多少？位移振幅最小的位置变到何处？ 解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为 ?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??). (1) 由棒两端自由的边界条件得 ?????x????????x?0x?0?0x?l(2)由(1)式?Bkcos(wt??)?0?B＝0. ?sinkl?0?kn?n?l(n?1,2,3,?) 由(2)式?kAsinklcos(wt??)?0?fn??nkncnc??2?2?2l. (1) 棒作纵振动的基频为 c16.85?1010f1???2520Hz. 32l2?12.7?10该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?当cosk1x?0，即xA1cosk1xcos(?1t??1). 1l?(n?)l时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x??0.5m的点位移振幅最小. 22Mtankl??m??0.2，即tank??0.2k，利用数值方法可以求得k1=2.65. (2) 当在一端负载时，由(2-2-25)得 klm该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?A1cosk1xcos(?1t??1). 1(n?)?2当cosk1x?0，即x?2.65时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x1=0.59m的点位移振幅最小. 2-9 有一长为l的棒一端固定一端有一质量负载Mm。 （1）试求棒作纵振动时的频率方程； （2）如果棒的参数与2-8相同，试求其基频，并指出在棒的哪一位置位移振幅最大？ 解：（1）棒的位移方程为 ?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(wt??) ?(x?0)?0?A?0???ctgkl2Mm??由边界条件得：??????ES()x?l??Mm(2)x?l??m?kl?x?t?故频率方程为：ctgkl? Mmkl mMm?0.2)?ctgk?0.2k m（2）将2-8参数代入得 ctgkl?0.2kl,(由牛顿迭代法知： k1 =1.3138 则 f1?k1c?1.05?103（Hz） 2?基频振幅为：?1?Bsink1x,(0?x?1) 当x=1时，sink1x达到最大，即振幅最大。 2-10 试分别画出两端自由和两端固定的棒，作n=1,2模式的自由纵振动时，它们的位移振幅随位置x的分布图。 解：两端自由的棒： 两端固定的棒: 2-11 设有一长为l，两端自由的棒作纵振动。假设其初始时刻的位移分布为?0移表示式。 解：棒做纵振动时，其方程的解为： ?x??cos?lx，初速度v0?x??0。求该棒振动位 ??(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??) ???k(?Asinkx?Bcoskx)cos(?t??) ?x???x?0?0?B?0??x两端自由，即不受应力作用，? ??n?nc??fn?x?l?0?kl?n??kn?l2l??x所以，???Ancosknxcos(?n??n) n?1? ???v???Ancosknx[??nsin(?nt??n)] ?tn?1?2l???0(x)??Ancosknxcos(??n)?cosx?Ancos?n??cosxcosknxdx??n?1ll0lv0(x)??Ancosknx(?nsin?n)?0?An?nsin?n?0n?1?????? ??1,2l?n?Acos??cosxcosxdx???n??nl?0ll?0,?sin?n?0??n?n??即 n?1n?2,3,???A1cos?1?1?A1??1,??cosAn?0,(n?2,3,???) 所以??lxcos(?clt??) ?0处，而自由端取在x?l处。试求该棒作 2-12 设有一端自由，一端固定的细棒在作纵振动，假设固定端取在坐标的原点，即x自由振动时的简正频率，并与(2-2-20)式作一比较。附： fn?(2n?1)c (n?1,2,3,?)。 (2-2-20) 4l解：棒的振动位移表达式边界条件：?x?0?0； ?(t,x)?(Ancosknx?Bnsinknx)cos(?t??) ???tx?l?0， 2n?1?2l。 代入位移表达式解得：于是可推出 An?0；kn?fn?(2n?1)c(n?1,2,3,?)。 4l?l处，同样能得出与（2-2-20）相同的结论。 。 ?Facos?t） 若将自由端置于原点，固定端置于x2-13 长为l的棒一端固定一端受沿棒轴方向的简谐力作用（F（1）试求棒作纵振动时的位移表达式； （2）证明当频率较低或棒较短时此棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为Km?ESl。 解：棒纵振动位移的一般表达式为：??(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??) ??x?0?0?A?0?满足边界条件：?FA??cos?t ?ES()?Fcos?t?B???x?lA??xESkcosklcos(?t??)?所以，???FAcos?tF??sinkl?cos(?t??)??sinkx ESkcosklcos(?t??)ESkcoskl??1时，coskl?1，sinkx?kx?kl 当频率较低或棒很短时，即kl有?FFES?kl??l?F??? ESk?1ESlES即棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为 l??。 2-14 长为l的棒一端钳定一端自由在进行横振动，设已知基频时自由端的位移振幅为?0，试求以?0来表示的棒的基频位移。 ??解：设棒在x?0端钳定，x?l端自由，于是边界条件可写为：?x?0?0， ?x代入横振动方程 ?(t,x)?2?x?0?0， ?x2?3?x?l?0， ?x3x?l?0。 ????x?Bshx?Ccosx?Dsinx]cos(?t??) ????????l?cosl)?B(sh?sinl)?0 可得A??C，B??D，并有如下关系A(ch????????A(shl?sinl)?B(ch?cosl)?0 ?????l，并用简正值（n=1,2,3,…）代表?的一系列根值。 设????[Ach? Bn?Ansin?n?sh?ncos?n?ch?n，cos?nsh?n??1 sin?1?sh?12sin?1sh?1?2 (sh?1?sin?1)]?A1cos?1?ch?1cos?1?ch?1?自由端基频位移振幅?0?A1Y1(l)?A1[(ch?1?cos?1)?? A1??0(cos?1?ch?1) 2(sh?1sin?1?1)?基频位移?1(t,x)?A1Y1(x)cos(?1t??1)， 其中：Y1(x)?(ch?1lx?cos?1lx)??(cos?1?ch?1)sin?1?sh?1??。 (sh1x?sin1x) A1?02(sh?1sin?1?1)cos?1?ch?1ll?2-15 长为l的棒一端钳定一端自由，如果初始时刻使棒具有位移?t?0?0lx，试解棒作横振动的位移表达式。 解：初始条件和边界条件为：?x?0?0（1）; ??2????3?????????0 (2) ?2??0 (3); ?3??0 (4) ?x??x?0??x?x?l??x?x?l?t?0??0????x (5); ??0 (6) ?l??t?t?0