解：由
f0?12?KmMm 得
Km?(2?f0)2Mm
由
f0??12?Km2 得 Km?(2?f0?)(Mm?m,)
Mm?m?2mf0?联立两式，求得Mmf024?2mf0f0?，Km?222??f0f0?f0?22
1-12 设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。
图 1-2-3 图 1-2-4
K1mK2mK1mK2md2?解： 串接时，动力学方程为Mm，等效弹性系数为K????0K1m?K2mK1m?K2mdt2d2??(K1m?K2m)??0，等效弹性系数为K?K1m?K2m。 并接时，动力学方程为Mm2dt。
1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100mm可称0～1kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？
解：设该岩石的实际质量为M，地球表面的重力加速度为g由虎克定律知
?9.8ms2，月球表面的重力加速度为g?
FM??Kx,又 FM??Mg 则 K?Mg1?g??10g x0.1T?又
2??0?2?10g10?9.8M?2.5kg ?1 则M?2?24?4?Kx1? 则 x??0.04m x?0.4Kx??4?2?0.04?1.58ms2Mg??Kx?则g??M
故月球表面的重力加速度约为1.58m1-14 试求证
s2，而该岩石的实际质量约为2.5kg。
acos?t?acos(?t??)?acos(?t?2?)???acos(?t?(n?1)?)
sinn?a?2cos??t?(n?1)??
???2??sin2证
aej?t?aej(?t??)?aej(?t?2?)???aej(?t?(n?1)?)
?aej?t(1?ej??) ?aej?t1?ejn?j?t1?cosn??jsinn??ae1?cos??jsin?1?ej?2sin2
?aej?t?aej?tn?n?n?n??jsinn?sinsin?jcos22?22
?aej?t????2sin2?jsin?sinsin?jcos2222n??j(??n?)n?n?sinsinsinn?1n?122j?j(?t??)j?t2?e222 ?ae?e2?a?esin?2e?1?j(??)22sin?2sin?2同时取上式的实部，结论即可得证。
1-15 有一弹簧Km在它上面加一重物Mm，构成一振动系统，其固有频率为
f0，
(1) 假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？ (2) 假设重物要加重一倍，而要求固有频率
f0不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？
解：固有频率
fo?f0212?KmMm。
（1）
f0?
?
Km?Km4，故应该另外串接三根相同的弹簧；
M??Mm?m（2）?2??f0?f0
? Km?2Km，故应该另外并接一根相同的弹簧。
1-16 有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为Mm，弹性系数为Km。试
求该扬声器的固有频率。 解：该扬声器的固有频率为
f0?1Km2πMm。
1-17 原先有一个0.5㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2㎏的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5㎏质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：
（1）这一系统的力学参数Km，Rm，f0’；
（2）当0.2㎏的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量； （3）在经过1s后，系统具有的平均能量。 解：（1）由胡克定理知，Km＝mg/ε
所以 Km＝0.2×9.8/0.04=49N/m
e???1/e???1
故
??Rm?Rm?1N?s/m
2Mm'w0?w0??2?f0?（2）系统所具有的能量E（3）平均能量E'12?49?1?1.57Hz 0.5
?11Km?2??49?0.042?0.0392J22
?12Km?0e?2?t?5.31?10?3J21-18 试求当力学品质因素Qm?0.5时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻??0，v?v0，试讨论解的结果。
d2?d?Mm2?Rm?Km??0
dtdt，
解：系统的振动方程为：
Rm进一步可转化为，设??2Mm设：
d2?d??2???2??0 2dtdt??ei?t
2(??2?2j????0)ej?t?0
于是方程可化为： 解得：?2?j(???2??0)
2?(???2??0)t? ??e方程一般解可写成：
??t
2??2??0t??e(Aet?02?2??0t?Be)
?存在初始条件： ?代入方程计算得：
?0，vt?0?v0
v02???220A??，B?v02???220
?解的结果为： ??e??t(Ae2?2??0t?Be2??2??0t) 其中A??v02???220，B?v02???220。
1-19 有一质点振动系统，其固有频率为
f1，如果已知外力的频率为f2，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。
KM解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为 已知
?，质量抗为?MM
f0?50Hz，f?300Hz
则
24?2f02(50)2KM?01()(?MM)＝2? ?2?22????MM?4?f(300)236KM11-20 有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg，弹性系数为150N/m的弹簧上，试问：
(1) (2) (3) (4)
这系统的固有频率为多少？
如果系统中引入5kg/s的力阻，则系统的固有频率变为多少？ 当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？ 相应的速度与加速度共振频率为多少？
解：(1) 考虑弹簧的质量，
f0?12?Km1?Mm?Ms/32?150?2.76Hz.
0.4?0.3/3(2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量Mm'为Mm+Ms / 3.
??Rm2Mm'?5?5，f'?1?2??2?1002?0.52?2??'?0Mm150?52?2.64Hz.
0.4?0.3/3(3) 品质因素QmRm?16.58?0.5?1.66，
512Qm2位移共振频率：
fr?f0'1??2.39Hz.
(4) 速度共振频率：
fr?f0'?2.64Hz，
12Qm2加速度共振频率：
fr?Qmf0'1??2.92Hz.
1-21 有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于
2?Qm。
解：系统每个周期损耗的能量
E?WFT?12RmvaT 2，
?
12RmvaTRE2??mE1fMm2Mmva2发生速度共振时，
f?f0。
RmE2?2????Ef0Mm?0MmQmRm。
?
1-22 试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率
（2）假定f1与f2为在f0f0；
两侧，其平均损耗功率比
f0下降一半时所对应的两个频率，则有Qm??f0f2?f1.
证明：（1）平均损耗功率为 WR1T12Wdt??Rv （Rm为力阻，va为速度振幅） RmaT?02质点强迫振动时的速度振幅为 va?FaQmz?0Mmz?(z?1)Q2222m,(Fa为外力振幅，?0为固有频率，Mm为质量，Qm为
力学品质因素，频率比z??f??0f0）
当z=1即（2）
f?f0时，发生速度共振，va取最大值，产生最大的平均损耗功率。
12WR??Rmva
22Fa2Qm112??Rmvamax＝?Rm2222?0Mm WRmax
22Fa2QmFa2Qm111122 WR=WRmax 则 ?Rmva＝?(?Rm2) 即2va＝2222222?0Mm?0Mm（1）
把va?FaQmz2?0Mmz2?(z2?1)2Qm2222，则z?(z?1)Qm（2） ,带入式（1）
由式（2）得?z?(z2?1)Qm解得z?2?1?1?4Qm2Qm21?1?4Qm取z1?2?1?1?4Qm2Qm21?1?4Qm
z?(z?1)Qm解得z?22Qm
取z2?2Qm
则 z2?z1?1Qm即
f2f1f2?f11???f0f0f0Qm
? Qm?f0f2?f11-23 有一质量为0.4㎏的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m的弹簧上，设系统的力阻为2N·s/m，作用在重物上的外力为FF?5cos8tN。
（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；
（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5N，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？
d2?d??R?Km??FF，得 解：（1）由强迫振动方程Mmmdtdt2d2?d?0.42?2?160??5cos8t
dtdt则位移振幅?a?Fa(Km?wMm)?wRm2222?0.0369m
速度振幅va?w?a?0.296m/s
加速度振幅aa?w2?a?2.364m/s2