解：外力表达式为FF?Fa(1?hsin?1t)sin?t
Facos(?t? ??2?)?1Fah[cos(?1??)t?cos(?1??)t] 2用指数形式表示外力为FF?Faej(?t?)2?11Fahej(???1)t?Fahej(???1)t 22振子进行强迫振动，由式（1-5-14）得，振子系统的位移为
1hFaFa??2??cos(?t???1)?cos[(???1)t?0??3?]?Z12(???1)Z321hFa?2?cos[(???1)t?0??2?]
(???1)Z22
Km(???)M??Mm?1m???1?其中：?1?arctan；?2?arctanRmRmKm2Z1?Rm?(?Mm?Km(???1)Mm????1；?3?arctanRm；
；
Km?)2；
2Z2?Rm?[(???1)Mm?Km2]???12Z3?Rm?[(???1)Mm?Km2]???1。
1-36 设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上，此力可表示为FF试求振动系统的位移。
?Fa(1?2t) （kT?t?(1?k)T,k?0,1,2,?） T解：质点的振动方程为
d2?d?2tMm2?Rm?Km??FF(t)?Fa(1?) （1）
dtdtT? 又
FF(t)?A0??Ancosn?t?Bnsinn?t,（??n?12πT） （2）
其中
A0?1T?T0F)d?t0 An?F(t?2TFF(t)cons?ttd??0T 0Bn?2Fa2TF(t)sin?ttd?FT?0n?
式（2）也可表示为
FF(t)??Fncos(n?t??n) （3）
n?0其中
22Fn?An?Bn?2Fan?，
?n?arctanan??2F
把式（3）表示成为复数形式
FF(t)??Fnej(n?t??n)
n?0则式（1）可写成
?d2?d?Mm2?Rm?Km???Fnej(n?t??ndtdtn?0) （4）
设
????n，代入式（4）可得 ????n??n?0???n?0n?0Fnej(n?t??njn?Zn)
其中
Zn?Rn?jXn?Rm?j(n?Mm?Km) n? 取?的实部得
????Fnπcos(n?t??n??n?)
2n?0n?Zn? ＝
2Faπcos(n?t?????) ?nn2?n?Z2n?0nKm2)n? 式中
2Zn?Rm?(n?Mm?
?n?arctanXn?arctanRmn?Mm?RmKmn?
1-37 设有如下形式的外力
??Fa,??FF???Fa,????1??kT?t??k??T2??1(k?)T?t?(k?1)T2(k?0,1,2,?)
作用于单振子的质量上，试求振动系统位移.
解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得
FF(t)??Fncos(n?t??n)
n?0?其中Fn?An?Bn22Bn，?n?arctanAn.
1A0?T?T02TFF(t)dt?0，An??FF(t)cosnwtdt?0，
T0Bn?2T?0T?4Fa2Fa?FF(t)sinnwtdt?[1?(?1)n]??n?n???0n为奇数n为偶数.
由此Fn?Bn，?n?4?2(n为奇数)，即
F1??Fa,F3?444Fa,F5?Fa,?,Fn?Fa； 3?5?n??1??2,?3??2a,?5??2?,?,?n??2(n为奇数).
由(1-5-14)得质点振动系统得位移???Fn?cos(nwt??n??n?)
2n?0n?Zn?4Fa4Fa4Fcos(wt??1??)?cos(3wt??3??)??2acos(nwt??n??)(n为奇数)
??Z19??Z3n??Zn习题2
2-1 有一质量为m，长为l的细弦以F的张力张紧，试问： (1) 当弦作自由振动时其基频为多少？
(2) 设弦中点位置基频的位移振幅是B，求基频振动的总能量。 (3) 距细弦一端l4处的速度振幅为多少？
解：（1）简正频率
fn?nT2l?，且线密度??m l?基频f1?1T1T。 ?2l?2ml。
216T?016TB2?（2）基频振动的总能量E1?l?2l?2（3）弦的位移的总和形式?(t,x)??Bnsinknxcos(?nt??n)
n?1???(t,x)???(?Bn?nsinknx)sin(?nt??n) 速度表达式为v(t,x)??tn?1?距一端0.25m处的速度振幅Vax?l4??Bn?2??n?1?nTn?lsin(?)
2l?l4
??n?Bnn?1??Tn?sinml4
Vax?3l4??Bn?2??n?1nTn?3lsin(?)
2l?l4
??n?Bnn?1?T3n?sinml42-2 长为l的弦两端固定，在距一端为x0处拉开弦以产生?0的静位移，然后释放。 （1）求解弦的振动位移； （2）以x0?l3为例，比较前三个振动方式的能量。
解：弦的振动位移形式为：?(t,x)??sinkn?1?nx(Cncos?nt?Dnsin?nt)
其中kn?n?l，?n?n?c，Cn?Bncos?n，Dn?Bnsin?n l??0x??x（1）由初始条件可得：?(t?0)??0??0(l?x)??l?x0(0?x?x0)
(x0?x?l)v(t?0)?(??)t?0?0?t(0?x?l)
2l?C??(x)sinknxdx??nl?00又?
2lv0(x)sinknxdx?Dn??0?l?n?l??02?0l22?x0?0n?xsinknxdx??(l?x)sinknxdx??22sinx0 则Cn???0x0l?x0l?x0l?n?x0(l?x0)
Dn?0
?0则sin?n
?n?n?
Bn?Cn
??2?0l22?n?2?xn?c?(t,x)??Cnsinxcos(?nt??n)??22sinx0sincost
lllln?1n?1n?x0(l?x0)n2?2c2?2n2?2T2Bn?Bn （2）En?4l4l1当x0?l时，Bn?Cn?32?0l29?n?ln?sin??202sinlll3n?3n2?2(l?)33
2243T?0E2?64?2l
2T?0?2T9?0?2243(2sin)?则E1?4l?316?2l
E3?0
2-3 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。
解：弦的振动位移表达式为?(t,x)??sinknx(Cncos?nt?Dnsin?nt)
n?1???(t,x)???sinknx(??nCnsin?nt??nDncos?nt) ?可得速度表达式为v(t,x)??tn?1由题可得初始条件：?t?0?0；
???tt?0l?2v0x,0?x??l2 ??l2v?2v0?0x,?x?l2l?通过傅立叶变换可得：Cn?0；Dn??4v0kl(?sinkl?2sin)。 332kl?n?位移表达式为?(t,x)??Dnsinknxsin?nt 其中Dn?n?14v0kl(?sinkl?2sin)。 32kl3?n2-4 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中心，试证明外力传给弦的初动能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。
??(t?0)?0??lx?解：初始条件?2???v0??t?t?0?弦的总位移为?(t,x)?
?n?1?sinknx(Cncos?nt?Dnsin?nt),
其中Cn又Dn（?n??Bncos?n,Dn?Bnsin?n，
?nπc,kn?nlc）
?2l?n?l0v0(x)sinknxdx＝
2l?n?l0v0sinknxdx＝
2v0l(1?cosn?) 22n?cCn?0
当n为偶数时，D2当n为奇数时，D1故Bn?D4?D6???0
?4v0l?2c，D3?14v0l9?2c，D5?14v0l25?2c，?
?Dn，?n?0
??24Tv0l11T222??) 又弦振动时的总能量为E??En??(nπBn)＝22(1???c925n?1n?14l222Tv0lTv0l?4Tv0l?2)＝2＝＝22(2T2c?c8＝
12v0(l?) 212Tmv0＝Ek0 （c2?2?12外力传给弦的初始动能为Ek＝mv0
02 ＝
）
2-5 设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远(即认为没有反射波回来)，假设在离固定端距离l处，施加一垂直于弦的力
F?Faej?t，试求在x?l力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。
提示：在弦的力作用点处，应有连接条件：?1??2和T??1???T2?F。 ?x?x2-6 有长为l，线密度为?的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物M，已知弦所受的张力T，如图所示。试求 （1） 该弦作自由振动时的频率方程；
（2） 假设此重物M比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。
图 2－6
解：（1）由题意可知其初始条件和边界条件为
??x?0?0?????2???Tx?l?M?x?t2?
x?l