y1?1y2?1x2?kx1?b??x2?x1?kx2?b??x1?8kb4b2?4k?k???x1?x2? ，，则x?x?PAPB221222xx2x1x21?4k1?4k18kb2?8k?8kb2?8kb8k?b?1?1?4k2???1，又b?1，?b??2k?1，此时???64k， ?4?b?1??b?1?4b2?41?4k2?1?． 存在k使得??0成立．∴直线l的方程为y?kx?2k?1，当x?2时，y??1，所以l过定点?2，l交圆A于C,D16【2016，20】设圆x2?y2?2x?15?0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，
两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明EA?EB为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两
点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
【解析】：⑴ 圆A整理为?x?1??y2?16，A坐标??1,0?，如图， 243QBE∥AC，则∠C?∠EBD，由AC?AD,则∠D?∠C， ?∠EBD?∠D，则EB?ED，?AE?EB?AE?ED?AD?4?|AB| A422Cx1x2y2根据椭圆定义为一个椭圆，方程为??1，(y?0)； 43B124Ex2y2⑵ C1:? ?1；设l:x?my?1，因为PQ⊥l，设PQ:y??m?x?1?，4323D4|MN|?1?m2|yM?yN|?1?m236m2?36?3m2?4?3m2?4?12?m2?1?3m2?4?x?my?1?联立l与椭圆C1：?x2y23m2?4y2?6my?9?0则 ，?1 ??43???P4圆心A到PQ距离d?|?m??1?1?|1?m23?|2m|1?m22， 221Nx所以|PQ|?2|AQ|2?d2?216?4m43m?4， ?21?m21?mA42B124MQ234
?SMPNQ21112?m?1?43m2?424m2?11?|MN|?|PQ|?????24??2?12,83 221223m?41?m3m?43?2m?1?x217【2015，20】在直角坐标系xOy中，曲线C：y?与直线l：y?kx?a（a?0）交于M,N两点.
4（Ⅰ）当k?0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
11
（Ⅱ）在y轴上是否存在点P错误！未找到引用源。，使得当k变动时，总有?OPM??OPN错误！未找到引用源。？说明理由.
解：（Ⅰ）当k?0时，点M(2a,a)和N(?2a,a)，y??x，故x?2a处的导数值为a，切2线方程为y?a?a(x?2a)，即ax?y?a?0；同理，x??2a处的导数值为?a，切线方程为y?a??a(x?2a)，即ax?y?a?0.
（Ⅱ）在y轴上存在点P错误！未找到引用源。，使得当k变动时，总有?OPM??OPN错误！未找到引用源。.证明如下：
设P(0,b)为符合题意的点，M(x1,y1),N(x2,y2)，直线PM,PN的斜率分别为k1,k2. 直线l与曲线C的方程联立可得x2?4kx?4a?0，则x1?x2?4k,x1x2??4a.
k1?k2?y1?by2?b2kx1x2?(a?b)(x1?x2)k(a?b)，当b??a时，k1?k2?0，则直线???x1x2x1x2aPM,PN的倾斜角互补，故?OPM??OPN，即P(0,?a)符合题意.
x2y2318【2014，20】已知点A（0，-2），椭圆E：2?2?1(a?b?0)的离心率为，F是椭圆的焦点，
ab2直线AF的斜率为23，O为坐标原点. 3(Ⅰ)求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当?OPQ的面积最大时，求l的方程. 【解析】：(Ⅰ) 设F?c,0?，由条件知
223c3，得c?3? 又?， ?a2c3x2?y2?1. …….6分 所以a=2?，b?a?c?1 ,故E的方程4222（Ⅱ）依题意当l?x轴不合题意，故设直线l：y?kx?2，设P?x1,y1?,Q?x2,y2?
x2?y2?1，得?1?4k2?x2?16kx?12?0， 将y?kx?2代入48k?24k2?33当??16(4k?3)?0，即k?时，x1,2? 41?4k222 12
4k2?1?4k2?32从而PQ?k?1x1?x2?，又点O到直线PQ的距离，所以?OPQd?221?4kk?12的面积S?OPQ144k2?34t42t?0 ，设，则，?dPQ?4k?3?tS???1， ?OPQ22421?4kt?4t?t7等号成立，且满足??0， 277x?2 或y??x?2. ……12分 22当且仅当t?2，k??所以当?OPQ的面积最大时，l的方程为：y?19【2013，20】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点
x2y2?=1(x≠－2)． 除外)，其方程为43(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)
时，R＝2.
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23. 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．
|QP|R?，可求得
|QM|r11?k2x2y22?4?622当k＝时，将y?. x?2代入?=1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝
43474182所以|AB|＝1?k|x2?x1|?.
7182当k??时，由图形的对称性可知|AB|＝.
7418综上，|AB|＝23或|AB|＝.
7220【2012，20】设抛物线C：x?2py（p?0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，
求坐标原点到m，n距离的比值．
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由l与圆M相切得|3k|=1，解得k＝?2. 4（1）若∠BFD=90°，则△BFD为等腰直角三角形，
且|BD|=2p，圆F的半径r?|FA|?2p， 又根据抛物线的定义可得点A到准线l的距离
d?|FA|?2p．
因为△ABD的面积为42， 所以
11?|BD|?d?42，即?2p?2p?42， 22所以p2?4，由p?0，解得p?2． 从而抛物线C的方程为x2?4y，
圆F的圆心F（0，1），半径r?|FA|?22， 因此圆F的方程为x2?(y?1)2?8． （2）若A，B，F三点在同一直线m上， 则AB为圆F的直径，∠ADB=90°， 根据抛物线的定义，得|AD|?|FA|?133|AB|，所以?ABD?30?，从而直线m的斜率为或?． 233当直线m的斜率为
33p时，直线m的方程为y?x?，原点O到直线m的距离332d1?p21?(32)3．
?3x?b323?y?2依题意设直线n的方程为y?，得x?b，联立?x?px?2pb?0， 333?x2?2py?4p2p?8pb?0，从而b??． 因为直线n与C只有一个公共点，所以??633px?，原点O到直线n的距离d2?36所以直线n的方程为y?p61?(32)3．
pd3因此坐标原点到m，n距离的比值为1?2?3．当直线m的斜率为?时，由图形的对称性可
p3d26知，坐标原点到m，n距离的比值也为3．
uuuruur21【2011，20】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA，
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uuuruuuruuuruurMA?AB?MB?BA，M点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值． ????????????解：（I）设M?x,y?，由已知得B?x,?3?，A?0,?1?. 所以MA???x,?1,?y?，MB??0,?3,?y?，AB??x,?2?.
????????????1再由题意可知MA?MB?AB?0，即??x,?4,?2y???x,2??0. 所以曲线C的方程为y?x2?2.
4??111（II）设P?x0,y0?为曲线C:y?x2?2上一点，因为y??x，所以l的斜率为x0.
42212?0. x0?x?x0?，即x0x?2y?2y0?x02122x0?42y0?x0121?24?2???2当x0?0时取等l则O点到的距离d?. 又y0?x0?2，所以d??x0?4?222?4x0?4x0?42?x0?4??因此直线l的方程为y?y0?号，所以O点到l的距离的最小值为217．（本题满分10分）
汉阳一中、江夏一中2017-2018学年高二年级10月联考
数学试卷(理科)
113已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程.
114．（本题满分12分）
如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当
1
AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程.
2
115．（本题满分12分）某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
116．（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y?2x?4,设圆C的半径为1,圆心在l上. (1)若圆心C也在直线y?x?1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C上存在点M,使MA?2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
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117．（本题满分12分）已知与圆C:x2?y2?2x?2y?1?0相切的直线l交x轴，y轴于A,B两点，
OA?a,OB?b?a?2,b?2?
(1)求证：?a?2??b?2??2 (2)求线段AB中点的轨迹方程； (3)求△AOB面积的最小值． 118．（本小题满分12分） 已知圆C的方程为x2?(y?4)2?4,点O是坐标原点.直线l:y?kx与圆C交于M,N两点. (Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ) 求M,N的中点P的轨迹; (Ⅲ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且
211.请将n表示为m的函数. ??222|OQ||OM||ON| 16