3.1.2 空间向量的基本定理
1．理解共线向量定理．(重点) 2．理解共面向量定理及推论．(重点)
3．理解空间向量分解定理，并能用定理解决一些几何问题．(重点) 4．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 共线向量与共面向量定理
阅读教材P82～P83“空间向量分解定理”上面，完成下列问题． 1．共线向量定理
两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb. 2．共面向量定理 (1)向量与平面平行
→＝a，如果a的基线OA平行于平面α或在平面内，则说
已知向量a，作OA明向量a平行于平面α.
(2)共面向量
平行于同一平面的向量，叫做共面向量． (3)共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.
1．空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是( ) A．共线向量
B．共面向量
1
C．不共面向量 【答案】 B
D．既不共线也不共面向量
→＝OA→＋2OB→＋
2．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有6OP→，则( ) 3OC
A．四点O，A，B，C必共面 B．四点P，A，B，C必共面 C．四点O，P，B，C必共面 D．五点O，P，A，B，C必共面 【答案】 B
教材整理2 空间向量分解定理
阅读教材P83“空间向量分解定理”～P84，完成下列问题．
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.其中，表达式xa＋yb＋zc，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合，a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底．( ) →的坐标为(x，y，z)，则点P的坐标也为(x，y，z)．( ) (2)若向量AP
(3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________
2
解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
共线向量定理
如图3-1-13所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不
→与MN→是否共线．
共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断CE
图3-1-13
→＝CB→＋BE→→根据M，N的位置表示出MN→ 【精彩点拨】 分析题意→CE→与MN→的关系作出判断 →根据CE【自主解答】 ∵M，N分别是AC，BF的中点， 四边形ABCD，ABEF都是平行四边形， →＝MC→＋CB→＋BN→ ∴MN
1→→1→＝2AC＋CB＋2BF
1→→→＋1(BA→＋BE→) ＝2(BC－BA)＋CB
21→→1→＝2BC＋CB＋2BE
3
1→→＝2(CB＋BE) 1→＝2CE.
→∥MN→，即CE→与MN→共线． ∴CE
判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量运算法则．结合具体的图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即a与b共线．
[再练一题]
1．已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，→＝2CB→，CG→＝2CD→.求证：四边形EFGH是梯G分别是边CB，CD上的点，且CF
33形．
图3-1-14
【证明】 ∵E，H分别是AB，AD的中点， →＝1AB→，AH→＝1AD→，
∴AE
22
→＝AH→－AE→＝1AD→－1AB→＝1(AD→－AB→)
EH
2221→1→→1?3→3→?
＝2BD＝2(CD－CB)＝2?2CG－2CF?
??3→→3→
＝4(CG－CF)＝4FG， 3→→→→→|. ∴EH∥FG且|EH|＝4|FG|≠|FG
→上，∴四边形EFGH是梯形．
又点F不在EH
4
基底的判断 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否
作为该空间的一个基底．
【精彩点拨】判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．
【自主解答】 假设a＋b，b＋c，c＋a共面， 则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．
?1＝μ，∴?1＝λ，?0＝λ＋μ.
此方程组无解，
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
[再练一题]
→＝e＋2e－e，OB→＝ －3e2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA1231→＝e＋e－e，试判断{OA→，OB→，OC→}能否作为空间的一个基底？ ＋e2＋2e3，OC123
→，OB→，OC→共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y
【解】 假设OA→＝xOB→＋yOC→成立． 使OA
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面，
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