B三点共线．
我还有这些不足：
(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋y b＋c，若m与n共线，则x＋y等于( )
A．2 C．1
B．－2 D．0
【解析】 因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．
?x＝z，所以?y＝－z，
?1＝z.
?x＝1，所以?所以x＋y＝0.
?y＝－1，【答案】 D
→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定
2．已知向量a，b，且AB共线的三点是( )
A．A，B，D C．B，C，D
B．A，B，C D．A，C，D
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→→→→→
【解析】 BD＝BC＋CD＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，BA＝－AB＝－a→＝－2BA→，
－2b，∴BD
→与BA→共线， ∴BD
又它们经过同一点B， ∴A，B，D三点共线． 【答案】 A
→＝3OA→＋1OB→＋1OC→，则P，
3．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若OP
488A，B，C四点( )
A．不共面 C．不一定共面
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【解析】 ∵4＋8＋8＝1， ∴点P，A，B，C四点共面． 【答案】 B
4．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．共面 D．无法判断
【解析】 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq?p.
【答案】 B
5．正方体ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′→，AO→，AO→}为基底，AC→→＋yAO→＋zAO→，则x，y，z
的中点，以{AO′＝xAO123123的值是( )
A．x＝y＝z＝1 2
C．x＝y＝z＝2
q，
1
B．x＝y＝z＝2 D．x＝y＝z＝2
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→→→→
【解析】 AC′＝AA′＋AD＋AB 1→→1→1→→→) ＝2(AB＋AD)＋2(AA′＋AD)＋2(AA′＋AB1→1→1→→＋AO→＋AO→， ＝2AC＋2AD′＋2AB′＝AO132由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1. 【答案】 A 二、填空题
6．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________.
【解析】 ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3为不共面向量． 又∵λe1＋μe2＋ve3＝0， ∴λ＝μ＝v＝0，∴λ2＋μ2＋v2＝0. 【答案】 0
7．已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四→→→→
点共面，且OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO，则2x＋3y＋4z的值为________.
【导学号：15460063】
【解析】 由题意知A，B，C，D共面的充要条件是对空间任意一点O，存→＝xOB→＋yOC→＋zOD→，且x＋y＋z＝1，因此2x＋
在实数x1，y1，z1，使得OA1111113y＋4z＝－1.
【答案】 －1
→＝2e＋ke，→→
8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知ABCD12CB＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
→＝CD→－CB→＝(2e－e)－(e＋3e)＝e－4e，【解析】 由已知可得：BD121212∵A，B，D三点共线，
→与BD→共线，即存在λ∈R使得AB→＝λBD→. ∴AB
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2， ∵e1，e2不共线，
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?λ＝2，∴?解得k＝－8. ?k＝－4λ，【答案】 －8 三、解答题
→＝a，→＝
9．如图3-1-18所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，ABAD→b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
图3-1-18
→；(2)AM→；(3)AN→；(4)AQ→.
(1)AP
→|＝2，
【解】 由题意知|PB
→|＝2，PB→＝P→→，DC→＝DA→＋AB→＋BC→， |CDA＋AB∵PA⊥平面ABCD，
→→＝P→→＝P→→＝0， ∴PA·DAA·ABA·BC→·→＝0， ∵AB⊥AD，∴ABDA→·→＝0， ∵AB⊥BC，∴ABBC→·→＝(P→→)·→＋AB→＋BC→) ∴PBDCA＋AB(DA→2＝|AB→|2＝1， ＝AB
→|＝2，|CD→|＝2， 又∵|PB
→·→PBDC11→→
∴cos〈PB，DC〉＝＝＝2，
→||DC→|2×2|PB→，DC→〉＝60°
∴〈PB，∴PB与CD所成的角为60°.
→＝a，OC→＝b，OO→10．正方体OABC-O′A′B′C′，且OA′＝c. →
(1)用a，b，c表示向量AC′；
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(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c→. 表示GH
→·→＝|OA→|·→|·
【解】 (1)OAOB|OBcos∠AOB 1＝1×1×cos 60°＝2. →＋OB→)·→＋CB→) (2)(OA(CA
→＋OB→)·→－OC→＋OB→－OC→) ＝(OA(OA→＋OB→)·→＋OB→－2OC→) ＝(OA(OA
＝12＋1×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.
→＋OB→＋OC→|＝(3)|OA
→＋OB→＋OC→?2 ?OA
＝12＋12＋12＋?2×1×1×cos 60°?×3＝6.
[能力提升]
→→＋βPC→，则α＋β＝1是A，B，1．若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝αPBC三点共线的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
→→＝β(PC→－PB→)，即BA→＝βBC→，显然A，B，【解析】 若α＋β＝1，则PA－PB→＝λBC→，故PB→－P→→－PB→)，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有ABA＝λ(PC→→－λPC→，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C. 整理得PA＝(1＋λ)PB
【答案】 C
→＝PB→
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有PM1→＋6AA→－4A→＋7BA11D1，那么M必( )
A．在平面BAD1内 C．在平面BA1D1内
B．在平面BA1D内 D．在平面AB1C1内
→＝PB→＋7BA→＋6AA→－4A→→→→→
【解析】 由于PM111D1＝PB1＋BA＋6BA1－4A1D1＝
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→→→→→→→→→→→PB1＋B1A1＋6BA1－4A1D1＝PA1＋6(PA1－PB)－4(PD1－PA1)＝11PA1－6PB－→，于是M，B，A，D四点共面，故选C. 4PD111
【答案】 C
3．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.
【导学号：15460064】
①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2，知a与e1，e2共面．
【答案】 ①②③
4．如图3-1-19所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试→与向量AD→，BC→是否共面． 判断向量MN
图3-1-19
→＝MA→＋AD→＋DN→，①
【解】 由题图可得MN→＝MB→＋BC→＋CN→，② ∵MN
→＝－MB→，DN→＝－CN→， 又MA所以①＋②得 →→→2MN＝AD＋BC，
→＝1AD→＋1BC→，故向量MN→与向量AD→，BC→共面. 即MN
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