?－3x＋y＝1，∴?x＋y＝2，?2x－y＝－1，
此方程组无解，
→＝xOB→＋yOC→成立．
即不存在实数x，y使OA→，OB→，OC→不共面． ∴OA
→，OB→，OC→}能作为空间的一个基底． 故{OA
[探究共研型]
向量共面 探究 P，A，B，C四点共面的四种充要条件． →＝xAB→＋yAC→.
【提示】 (1)存在有序实数对(x，y)，使得AP→＝OA→＋xAB→＋yAC→.
(2)对于空间任意一定点O，有OP
→
(3)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得OP→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)． ＝xOA
→→. (4)PA∥BC
已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满
→＝1OA→＋1OB→＋1OC→. 足OM
333
→，MB→，MC→三个向量是否共面； (1)判断MA
(2)判断点M是否在平面ABC内．
→＝xMB→＋yMC→？(2)如何证明四
【精彩点拨】 (1)是否存在实数x，y，使MA点共面？
【自主解答】 如图：
6
→→→→
(1)由已知，得OA＋OB＋OC＝3OM，
→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)．∴MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→. ∴OA
→，MB→，MC→共面．
∴向量MA
→，MB→，MC→共面，表明三个向量的有向线段又过同一点
(2)由(1)知，向量MAM，
∴M，A，B，C四点共面．∴点M在平面ABC内．
1．证明空间三个向量共面，常用如下方法：
(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；
(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
2．对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面： →＝xMA→＋yMB→； (1)MP
→→→→
(2)对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB；
→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1)；
(3)对空间任一点O，OP
→∥AB→(或P→→，或PB→∥AM→)． (4)PMA∥MB
[再练一题]
3．如图3-1-15，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．试用向量方法证明E，F，G，H四点共面．
图3-1-15
【解】 分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，
7
连接MN，NQ，QR，RM，
因为点E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R是所在边的中点，且
2→→2→→2→→2→→
PE＝3PM，PF＝3PN，PG＝3PQ，PH＝3PR. 由题意知四边形MNQR是平行四边形， →＝MN→＋MR→＝(PN→－PM→)＋(PR→－PM→) 所以MQ
3→→3→→3→→＝2(PF－PE)＋2(PH－PE)＝2(EF＋EH)． →＝PQ→－PM→＝3PG→－3PE→＝3EG→. 又MQ
222
→＝EF→＋EH→，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．
所以EG
[构建·体系]
1．给出下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则它们的基线共面； ②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb. 其中真命题的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
8
【解析】 向量a，b，c共面，它们的基线不一定共面．故①错误；由共线向量定理知③错误．
【答案】 A
→→→
2．若向量MA，MB，MC的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，→，MB→，MC→成为空间一组基底的关系是( )
则能使向量MA
→＝1OA→＋1OB→＋1OC→ A.OM
333→＝MB→＋MC→
B.MA
→＝OA→＋OB→＋OC→ C.OM
→＝2MB→－MC→ D.MA
→，MB→，MC→共面，故
【解析】 由共面向量定理可知A，B，D中均满足MA→，MB→，MC→不能构成空间向量的一组基底． MA
【答案】 C
3．如图3-1-16所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC的三等分→→→
点(靠近A点)，N是A1D的三等分点(靠近D点)．设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，→为________．
用a，b，c表示MN
图3-1-16
→＝MA→＋AA→＋A→
【解析】 MN11N 1→→2→＝－3AC＋AA1＋3A1D
1→→→＋2(AD→－AA→) ＝－3(AB＋AD)＋AA11
312
＝－3(a＋b)＋c＋3(b－c) 111＝－3a＋3b＋3c.
9
111
【答案】 －3a＋3b＋3c
→
4．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取PQ→＝b，PS→＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则GH→＝＝a，PR
________.(用a，b，c表示)
【导学号：15460062】
→＝GP→＋PH→＝－PG→＋1(PS→＋PR→)
【解析】 GH
22→1→1→211＝－3PQ＋2PS＋2PR＝－3a＋2b＋2c. 211
【答案】 －3a＋2b＋2c
→→
5．如图3-1-17，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝2ED1，2→→
F在对角线A1C上，且A1F＝FC. 3
图3-1-17
求证：E，F，B三点共线．
→＝a，AD→＝b，AA→＝c，
【证明】 设AB1→→→2→因为A1E＝2ED1，A1F＝FC， 32→2→→→所以AE＝AD，AF＝11
3115A1C， 2→2→
所以AE＝1
3AD＝3b，
2→→2→→→222→A1F＝(AC－AA1)＝(AB＋AD－AA1)＝a＋b－c， 5555522422??→→→a－b－c??. 所以EF＝A1F－A1E＝5a－15b－5c＝53??
→＝EA→＋A→→＝－2b－c＋a＝a－2b－c，→＝2EB→，又EBA＋AB所以EF所以E，F，11
335
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