又因为{an}为等比数列, 所以r??1, 公比为b, 所以an?(b?1)bn?1 （2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?则Tn?n?1n?1n?1 ??4an4?2n?12n?1234n?1????? 234n?122221234nn?1Tn??????? 22324252n?12n?2121111n?1相减,得Tn?2?3?4?5???n?1?n?2
222222211?(1?)n?11n?1123n?132 ??n?2??n?1?n?2
1422221?231n?13n?3所以Tn??n?n?1??n?1
2222221、解: (1)由已知得f'(x)?ax2?2bx?1,令f'(x)?0,得ax2?2bx?1?0,
f(x)要取得极值,方程ax2?2bx?1?0必须有解,
所以△?4b2?4a?0,即b2?a, 此时方程ax2?2bx?1?0的根为
?2b?4b2?4a?b?b2?a?2b?4b2?4a?b?b2?a,x2?, x1???2aa2aa所以f'(x)?a(x?x1)(x?x2) 当a?0时,
x f’(x) f (x) (-∞,x1) ＋ 增函数 x 1 0 极大值 (x1,x2) － 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) ＋ 增函数 所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
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当a?0时,
x f’(x) f (x) (-∞,x2) － 减函数 x 2 0 极小值 (x2,x1) ＋ 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) － 减函数 所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当a,b满足b2?a时, f(x)取得极值.
(2)要使f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使f'(x)?ax2?2bx?1?0在(0,1]上恒成立.
ax1ax1?,x?(0,1]恒成立, 所以b?(??)max 22x22x1a(x2?)ax1a1a, 设g(x)???,g'(x)???2?222x22x2x即b??令g'(x)?0得x?11或x??(舍去),
aa当a?1时,0?1ax11?1,当x?(0,)时g'(x)?0,g(x)???单调增函数; a22xa当x?(ax11,1]时g'(x)?0,g(x)???单调减函数,
22xa所以当x?11时,g(x)取得最大,最大值为g()??a. aa所以b??a 当0?a?1时,ax11?1,此时g'(x)?0在区间(0,1]恒成立,所以g(x)???在
22xaa?1,所以2区间(0,1]上单调递增,当x?1时g(x)最大,最大值为g(1)??
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b??a?1 2a?1 2综上,当a?1时, b??a; 当0?a?1时, b??????解:（1）因为a?b,a?(mx,y?1),b?(x,y?1),
??所以a?b?mx2?y2?1?0, 即mx2?y2?1. 当m=0时,方程表示两直线,方程为y??1; 当m?1时, 方程表示的是圆
当m?0且m?1时,方程表示的是椭圆; 当m?0时,方程表示的是双曲线.
1x2(2).当m?时, 轨迹E的方程为?y2?1,设圆心在原点的圆的一条切线为
44y?kx?t,解方程组
?y?kx?t?2?x2??y?1?4得
x2?4(kx?t)2?4,即
(1?4k2)x2?8ktx?4t2?4?0, 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△=64k2t2?16(1?4k2)(t2?1)?16(4k2?t2?1)?0,
8kt?x?x??12??1?4k22222即4k?t?1?0,即t?4k?1, 且? 2?xx?4t?412?1?4k2?k2(4t2?4)8k2t2t2?4k22, y1y2?(kx1?t)(kx2?t)?kx1x2?kt(x1?x2)?t???t?2221?4k1?4k1?4k22????????4t2?4t2?4k25t2?4k2?4???0, 要使OA?OB, 需使x1x2?y1y2?0,即2221?4k1?4k1?4k所以5t2?4k2?4?0, 即5t2?4k2?4且t2?4k2?1, 即4k2?4?20k2?5恒
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成立.
所以又因为直线y?kx?t为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为r?x2?y2?4. 5t1?k24(1?k2)2t45,r2?, 所求的圆为??221?k1?k5222x25,与?y2?1交于点(5,?5)当切线的斜率不存在时,切线为x??5554或(?225,?5)也满足OA?OB. 554，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒5综上, 存在圆心在原点的圆x2?y2?????????有两个交点A,B,且OA?OB.
1x2(3)当m?时,轨迹E的方程为?y2?1,设直线l的方程为y?kx?t,因为直线
44l与圆C:x2?y2?R2(1 ①, 因为l与轨迹E只有一个公共点B1, ?y?kx?t?22由（2）知?x2得x?4(kx?t)?4, 2??y?1?4即(1?4k2)x2?8ktx?4t2?4?0有唯一解 则△=64k2t2?16(1?4k2)(t2?1)?16(4k2?t2?1)?0, 即4k2?t2?1?0, ② 14 ?23R2t???4?R2由①②得?, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 2?k2?R?1??4?R28kt?x?x??12?4t2?416R2?16?1?4k22?由? 中x1?x2,所以,x1?, 2221?4k3R4t?4?xx?12?1?4k2?4124?R2222|OB|?x?y?5?B1(x1,y1)点在椭圆上,所以y?1?x1?,所以, 111R243R221在直角三角形OA1B1中,|A1B1|2?|OB1|2?|OA1|2?5?442?R?5?(?R2)因为22RR4?R2?4当且仅当R?2?(1,2)时取等号,所以|A1B1|2?5?4?1当2RR?2?(1,2)时|A1B1|取得最大值,最大值为1. 15