2014—2015学年度第一学期开学检测
高 三 数 学 试 卷 （考试时间120分钟 满分150分）
第I卷 （选择题 共40分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符
合题目要求的一项）
2（1）已知集合A?xx?2x?3?0，B?x?2?x?2，则A????B?
（A）??2,?1? （B）??1,2? （C） ??1,1? （D）?1,2? （2）设a,b?R，则“a?b”是“aa?bb”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
2??x?1???x?0?（3）已知函数f?x??? ，则下列结论正确的是 cosx???x?0????（A）f?x?是偶函数 （B）f?x?在???,???上是增函数 （C）f?x?是周期函数 （D）f?x?的值域为??1,???
（4）已知函数f?x??x?2?1，g?x??kx. 若方程f?x??g?x?有两个不相等的实根，
则实数k的取值范围是
（A）?0,? （B）?,1? （C） ?1,2? （D）?2,??? （5）已知向量a,b的夹角为45，且a?1，2a?b?10，则b?
（A）2 （B）2 （C） 22 （D）32 （6）函数f?x??2xlog1x?1的零点个数为
2???1?2??1??2?（A）1 （B）2 （C） 3 （D）4
（7）若将函数f?x??sin2x?cos2x的图象向右平移?个单位，所得图象关于y轴对称，
则?的最小正值是 （A）
??3?5? （B） （C） （D）
8484（8）对于函数f?x?，若存在非零常数a，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f?x??f?2a?x?，则称f?x?为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是
（A）f?x??
x （B）f?x??x2 （C）f?x??tanx （D）f?x??cos?x?1?
第II卷 （非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） 已知a,b?R，i是虚数单位.若a?i与2?bi互为共轭复数，则?a?bi?? .（10）设0???
2?2，a??sin2?,cos??，b??cos?,1?，若a∥b，则tan?? . ?3x?1???????x?0??（11）已知函数f?x???log1x???x?0? ，则不等式f?x??1的解集为 .
??3
（12）在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c. 已知b?c?则cosA的值为 .
（13）已知菱形ABCD的边长为2，?BAD?120，点E,F分别在边BC,DC上，
?1a，2sinB?3sinC， 4BC?3BE，DC??DF. 若AE?AF?1，则?的值为 .
（14）若集合?a,b,c,d???2,0,1,5?，且下列四个关系：
① a?2； ② b?2； ③ c?0； ④ d?5.
有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组?a,b,c,d?的个数是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
（15）（本小题13分）
已知函数f?x??cosx?sin?x?（Ⅰ）求f?x?的最小正周期； （Ⅱ）求f?x?在??????32，x?R. ?3cosx??3?4????,?上的最小值和最大值. 44??（16）（本小题14分）
在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c. 已知a?3，cosA?6，32（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求?ABC的面积.
（17）（本小题13分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n?N）的函数解析式；
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 频数 B?A??.
14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10
① 假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； ② 若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，
【文科学生继续做】 求当天的利润不少于75元的概率.
【理科学生继续做】 求当天的利润X（单位：元）的分布列与数学期望.
（18）（本小题14分）
设函数f?x??lnx?m，m?R. x（Ⅰ）当m?e（e为自然对数的底数）时，求f?x?的极小值； （Ⅱ）讨论函数g?x??f??x??
（19）（本小题13分） 设函数f?x??alnx?处的切线的斜率为0.
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若存在x??1,???，使得f?x??
（20）（本小题13分）
x零点的个数. 31?a2x?bx，a?R且a?1. 曲线y?f?x?在点?1,f?1?? 2a，求a的取值范围. a?1x2y2 已知椭圆C：2?2?1（a?b?0）的焦距为4，且过点Aab（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
?2,3.
?（Ⅱ）设P?x0,y0?（x0y0?0）为椭圆C上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q. 取点
B0,22，连接BQ. 过点B作BQ的垂线交x轴于点D，点E是点D关于y轴的对称点.
试判断直线PE与椭圆C的位置关系，并证明你的结论.
??2014—2015学年度第一学期第一次练习
高 三 数 学 试 卷 答 案 （考试时间120分钟 满分150分）
第I卷 （选择题 共40分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符
合题目要求的一项）
2（1）已知集合A?xx?2x?3?0，B?x?2?x?2，则A????B?
（A）??2,?1? （B）??1,2? （C） ??1,1? （D）?1,2?
2 解：A?xx?2x?3?0?xx??1或x?3，A????B??x?2?x??1?，选A.
（2）设a,b?R，则“a?b”是“aa?bb”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解法一：按b的符号分类讨论
解法二：构造函数f?x??xx，利用f?x?在???,???上为增函数，选C.
2??x?1???x?0?（3）已知函数f?x??? ，则下列结论正确的是 ??cosx????x?0?（A）f?x?是偶函数 （B）f?x?在???,???上是增函数 （C）f?x?是周期函数 （D）f?x?的值域为??1,???
解：作出f?x?的图象，选D.
（4）已知函数f?x??x?2?1，g?x??kx. 若方程f?x??g?x?有两个不相等的实根，
则实数k的取值范围是
（A）?0,? （B）?,1? （C） ?1,2? （D）?2,???
??1?2??1??2?解：作出函数f?x??x?2?1的图象，易得k??,1?. 选B.
?1??2?