数码相机定位
盐城工学院 童立里
摘要
本文用几何的方法建立了相机标定的模型，由于靶标是一个矩形的4个顶点与一条边上的点，利用针孔模型。针孔模型是由投影中心，成像面与光轴组成，那么投影中心与靶标上的矩形构成了一个四棱锥。成像面成了该四棱锥的一个截面，如果我们知道了截面，利用几何中向量的方法，可以推导出四棱锥底面的坐标，于是该相机在世界坐标系中的坐标就出现了，所有的相机内部的参数也可以得出。
对于问题1，2，我们还要找出不规则圆的圆心，我们认为如果圆是由一些像素方格组成，那么圆心就是到所有其他像素方格距离之和最小的一个像素方格，这就转化为一个极小值问题。我们求得圆A的像的像坐标系下的坐标为（190，325），其余的见表1。根据四棱锥模型，我们求出图像中心坐标u0?300.3416,v0?490.6230。根据u0,v0的值，就可以确定相机的坐标系，进而求出A、B、C、D、E在相机坐标系下的坐标以及它们的像的坐标。
点 A B C D E -31.844 -30.425 -27.113 67.097 79.241 x轴 -47.798 -19.548 46.370 30.585 -55.892 y轴 z轴 445.119 465.445 489.538 522.121 619.015 题目图2中点A,B,C,D,E在照相机坐标的坐标
点 x轴 y轴 轴 A’ -29.191 -43.816 417.196 B’ -27.604 -19.212 417.196 C’ -23.106 39.518 417.196 D’ 53.613 24.439 417.196 E’ 53.349 -54.398 417.196 z A,B,C,D,E的像点（原题目中图3）在照相机坐标的坐标
对于问题3，相机参数的标定可以用经典的透视变换矩阵来做，我们利用该方法求出了相机的外部参数，与四棱锥模型的外部参数进行了比较，发现结果是吻合的。而且，我们知道估计的像在像素坐标系中的坐标是有一定的误差，通过对误差的分析，发现该误差对四棱锥模型是稳定的。
对于问题4，两个相机相对位置的标定，我们利用两个四棱锥的几何模型，可以求出在同一个世界坐标体系下两个相机光心的坐标，这样它们的相对位置就确定了。此外，我们利用坐标变换，可以求出两个相机相对位置的坐标转换矩阵。（由于没有第2个相机的数据，我们只是提出了方法）
关键词：相机坐标系 透视变换矩阵 小孔模型 四棱锥
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一、问题重述
数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。
标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如题中图1所示(图1略)，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。
有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如题中图2所示。(图2略)
用一位置固定的数码相机摄得其像，如题中图3所示。(图3略) （1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐
标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；
（2） 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐
标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；
（3） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论； （4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
二、问题分析
本问题属于数码相机的标定问题。传统的相机标定是在一定的相机模型下，基于特定的实验条件，如形状、尺寸已知的标定物，经过对其图像的处理，利用一系列数据变换和计算方法，求取相机模型的内部参数和外部参数。然而，由于本问题靶标是一个正方形上的五个点，靶标的像也是同一平面上的五个点，因此我们可以利用针孔模型来处理。针孔模型主要由光心（投影中心）、成像面和光轴组成。在本问题中光心和靶标上的正方形组成了一个四棱锥，而靶标的像即是四棱锥上的一个截面。所以我们可以把成像图理想化为已知四棱锥的底面和截面，求四棱锥的顶点与光轴的问题，这是一个高中的立体几何问题。我们准备在下文中用向量的方法来求。此外，根据经典的相机标定方法，我们还可以用透视变换矩阵的相机标定技术来求，但是这些方法是普遍的方法，对本问题的标靶精确度并不是太高。我们可以用这种方法检验我们的立体几何模型，并且讨论精确度。
由于在现实世界中几何上的点的概念是不存在的，我们只能用圆的圆心来代替。而
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成像面上靶标上的圆，已经变成了不规则圆，本问题要求的其圆心就只能用近似的方法来处理。在实际的相片(图3)中，图的像是1024×768个像素所组成的，圆心实际上的就是这些每个独立圆像素区的正中心。我们可以采用聚点的理论，对若干个像素的网格所组成的图，其中，实际上可以看成是与其它网格点距离之和最近的一个网格点，这就变成了一个最短距离的问题。
三、模型假设
1、假设在计算机视觉研究中，三维空间中物体到像平面的投影关系，即为成像模型，理想的投影成像模型是光学中的中心投影，也称为针孔模型，本文假设题中的照相机成像是针孔模型。
2、像素在x、y方向上的物理尺寸是3、本文中的长度单位是毫米。
4、本文的世界坐标系是取靶标上A点为原点，AC为x轴，AE为y轴。垂直于平面ACDE的线为z轴。（如图1）
13.78，即单位长度的像素个数是3.78。
ZwYwEDXwA(Ow)C
图 1 世界坐标系
四、坐标系及其关系
计算机视觉常用坐标系采用右手准则来定义，图1表示了三个不同层次的坐标系统：世界坐标系、照相机坐标系和图像坐标系（图像像素坐标系和图像物理坐标系）。在本文中，我们几何方法算出照相机的位置，也转化成世界坐标系中的点。所以，我们还是介绍一下这些通用的坐标系。
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1、世界坐标系：
也称真实或现实世界坐标系,它是客观世界的绝对坐标。一般的3Ｄ场景都用这 个坐标系来表示。
oxyOfOL1YfZwYXPu(Xu,Yu)XfPd(Xd,Yd)OwXwYwL2P(x,y,z)(Xw,Yw,Zw)z
图 2 标定系统的坐标系
2、 三个层次的坐标系统
（1）世界坐标系（xw,y,zw）：也称真实或现实世界坐标系，或全局坐标系。
w它是客观世界的绝对坐标，任意定义的三维空间坐标系。一般的3Ｄ场景都用这个坐标系来表示。
（2）照相机坐标系(xoy)：以小孔照相机模型的聚焦中心为原点，以照相机光轴为zc 轴建立的三维直角坐标系。x，y 一般与图像物理坐标系的xf,yf 平行，且采取前投影模型。
（3）图像坐标系，分为图像像素坐标系和图像物理坐标系两种：
图像物理坐标系：其原点为透镜光轴与成像平面的交点，X与Y 轴分别平行于照相机坐标系的x 与y 轴，是平面直角坐标系，单位为毫米。
图像像素坐标系[计算机图像（帧存）坐标系]：固定在图像上的以像素为单位的平面直角坐标系，其原点位于图像左上角, xf, yf平行于图像物理坐标系的X和Y轴。对于数字图像，分别为行列方向。
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3、坐标系变换关系
定义了上述各种空间坐标系后，就可以建立两两不同坐标变换之间的关系。 （1） 世界坐标系与照相机坐标系变换关系
世界坐标系中的点到照相机坐标系的变换可由一个正交变换矩阵R 和一个平移 变换矩阵T 表示为：
???r11?x?xw?????y?R?y??T??r21??w?????z???r31???zw?rrr122232rrr13??xw?????y??T (1) 23?w???33???zw??齐次坐标表示为：
?x????Ry????T?z???0???1??xw???T??y???w? (2) 1???z?w?1???其中， T???txtytz??T是世界坐标系原点在照相机坐标系中的坐标，矩阵R是正
交旋转矩阵，其矩阵元素满足
r11?r21?r31?222r?r1222213223233?1 ?1 ?1
r?r22r?r322正交旋转矩阵实际上只含有3 个独立变量，再加上tx，ty和tz，总工有6 个参数决定了照相机光轴在世界坐标系中空间位置，因此这六个参数称为照相机外部参数。
（2） 图像坐标系与照相机坐标系变换关系
如图1 所示，照相机坐标系中的物点P 在图像物理坐标系中像点Pu 坐标为
?X?fx/z??Y?fy/z (3)
（3）齐次坐标表示为：
?X?zY???1??f???0??????00f0001?x?0????y0?? (4) ??z?0?????1?5