??X2??????Y2?????1?????frfr2214frfr2225frfr2236frfr22r7r8r9tz??zX1x????zY1y???z???1?ff???1? （18） ???1于是, 双目视觉传感器三坐标测量模型可用下式表示:
?x?zX1f1??y?zY1f1??f1(f2tx?X1tz)??z??X2(r7X1?r8Y1?f1r9)?f2(r1X1?r2Y1???f1(f2ty?Y1tz)??(??)?f(r4X1?r5Y1?f??Y2r7X1r8Y1f1r92fr1 （19）
3)1r6)只要已知焦距空间坐标。
f1、
f2、旋转矩阵R和平移矢量T，就可以得到被测物体点的三维
焦距f1,f2,旋转矩阵R平移矢量T的确定 由式（19）得到
(f2tx?X2tz)(r4X1?r5Y1?f1r6)?(f2ty?Y2tz)(r1X1?r2Y1?f1r3)?(Y2tx?X2ty)(r7X1?r8Y1?f1r9)'令T??T，因tx?0，选择??1/tx，则有T'?(1ty'T （20）
tz)，利用式（19）对每个
'',tz,r1?r9，的观测点求得带有比例因子的Zi。（20）式是一个含有13个未知数f1,f2,ty非线性方程，用函数f(x)?0来表示。
其中
x?(f1,f2,ty,tz,r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8,r9) （21）
''另外，r1～r9构成的矩阵R是正交的，具有六个正交约束条件。由此构成如下罚函数：
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?h1(x)??h2(x)??h3(x)??h4(x)?h(x)5???h6(x)?M1(r1?r4?r7?1)?M2(r2?r5?r8?1)?M3(r3?r6?r9?1)?M4(r1r2?r4r5?r7r8)?M5(r1r3?r4r6?r7r9)?M6(r2r3?r5r6?r8r9)222222222 （22）
其中M1～M6为罚因子，从而得到无约束最优目标函数为：
n6F(x)??i?1fi(x)?2?hi?12i(x)?min （23）
最后由牛顿—高斯法求得x。由（19）式求出Zi。
对于Pi点的空间位置为(xi,yi,zi)，对应的像面坐标分别为(X1i,Y1i),(X2i,Y3i)。空间点Pi,Pj的距离Dij表示为：
f1Dij?(ziX1i?zjX1j)?(ziY1i?zjY1j)?f1(zi?zj) （24）
222222因（19）式求得的Zi带有比例因子，即zi??zi。则（11）式变为：
?f1Dij?(ziX1i?zjX1j)?(ziY1i?zjY1j)?f1(zi?zj) （25）
2222222'由式（25）可求得?
???f1Dij(ziX1i?zjX1j)?(ziY1i?zjY1j)?f1(zi?zj)''2''22''2 （26）
?的符号由坐标选取法决定。至此获得双目标定的所有参数。
六、模型的检验与稳定性分析
我们首先利用经典矩阵透视的方法，求出在世界坐标系下坐标变换矩阵R,T的参数，将这些参数与表5中的参数作一个比较，借此对模型加以检验。
具体的做法如下：根据公式（8），在本文中，公式（8）中的参数fx?fy?3.78f，
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那么公式（8）中有15个参数，而有5个点的坐标代入公式（8），可以得到10个方程，再利用旋转矩阵R标准正交性，又可以得到6个方程，因此，我们用16个方程求解15个参数，利用 Matlab的方程求解工具，得到具体的参数结果见表6
r 11r 12r 13r 21r 22r 230.0493 0.9633 0.2341 0.8987 -0.1354 0.2899 r 31r 32r 33tx -31.9004 ty -47.7674 tz 454.0009 0.3122 0.3198 -0.8716 表6 坐标变换矩阵R,T的参数
比较表5、6，我们可以发现这些参数的数值大致吻合，因此我们在5.2节中四棱锥的模型是符合实际的。
我们知道，小孔成像原理保证了同一直线的A、B、C像理论上也应该在同一直线上，但是由于我们用圆心代替点，在5.1节的模型中A、B、C的像在图像像素坐标系中的坐标并非在同一直线上，因此存在一定的误差，我们把B的像在图像像素坐标系中做一个修正，新的数据见表7
A’ B’ C’ D’ E’ 图像像素坐（190，325） （197，390） (213,640) 标系的坐标 (503,583) (502,285) 表7 修正后A、B、C、D、E像的圆心坐标
下面我们利用表7的数据，代入5.2节中的模型，算出了修正后的坐标变换矩阵R,T的参数，具体数据见表8 r 11r 12r 13r 21r 22r 230.0408 0.9562 0.2076 0.9087 4 -0.1650.2909 r 31r 32r 33tx -31.91ty -47.45tz 453，9879 0.3802 0.3102 1 -0.84114 64 表8 数据修正后得到的参数
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从表8可以看出，5.2节的模型是稳定的。
参考文献
[1]周富强，邾继贵，杨学友，叶声华，张虎，双目视觉传感器的现场标定技术，仪器仪表学报，21（2）：142-145，2000。
附录1：
d=zeros(768,1024);
for i=floor(50/0.37):ceil(90/0.37)
for j=floor((4*26-10)/0.37):ceil((5*26+14)/0.37) for i1=floor(50/0.37):ceil(90/0.37)
for j1=floor((4*26-10)/0.37):ceil((5*26+14)/0.37)
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if X(i1,j1)==0
d(i,j)=d(i,j)+sqrt((i-i1)^2+(j-j1)^2); end end end end end
minn=min(min(d(floor(50/0.37):ceil(90/0.37),floor((4*26-10)/0.37):ceil((5*26+14)/0.37))))
for i=floor(50/0.37):ceil(90/0.37)
for j=floor((4*26-10)/0.37):ceil((5*26+14)/0.37) if d(i,j)<=minn+1
hang=i;lie=j;break; end end end
附录2：
[k,l,m,u,v]=solve('(k*(190-u)+m*(503-u)-l*(213-u))/(502-u)-(k*(325-v)+m*(583-v)-l*(640-v))/(285-v)=0',
'(k*(190-u)+m*(503-u)-l*(213-u))/(502-u)-(1577*(l-k-m))/(-1577)=0', '(k*(190-u)-l*(213-u))^2+(k*(325-v)-l*(640-v))^2+1577^2*(l-k)^2-378^2=0',
'(m*(503-u)-l*(213-u))^2+(m*(583-u)-l*(640-u))^2+1577^2*(l-m)^2-378^2=0',
'(k*(190-u)+m*(503-u)-2*l*(213-u))^2+(k*(325-u)+m*(583-u)-2*l*(640-u))^2+1577^2*(2*l-k-m)^2-378^2*2=0')
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